Упр.69 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Исследуем каждую функцию на чётность.

1. $$y=\sin x+\ctg x-x$$

   Область определения: $$\sin x\neq 0,$$ то есть $$x\neq \pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

   Проверим значение в точке $$-x$$:

   $$y(-x)=\sin(-x)+\ctg(-x)-(-x)=-\sin x-\ctg x+x=-(\sin x+\ctg x-x)=-y(x).$$

   Значит, функция нечётная.

2. $$y=\dfrac{|x|}{\sin x\cos x}=\dfrac{2|x|}{\sin 2x}$$

   Область определения: $$\sin 2x\neq 0,$$ то есть $$x\neq \dfrac{\pi n}{2},\; n\in \mathbb{Z}.$$

   Найдём $$y(-x)$$:

   $$y(-x)=\dfrac{|-x|}{\sin(-x)\cos(-x)}=\dfrac{|x|}{(-\sin x)\cos x}=-\dfrac{|x|}{\sin x\cos x}=-y(x).$$

   Значит, функция нечётная.

3. $$y=x^4+\tg^2 x+x\sin x$$

   Область определения: $$\cos x\neq 0,$$ то есть $$x\neq \dfrac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

   Проверим $$y(-x)$$:

   $$y(-x)=(-x)^4+\tg^2(-x)+(-x)\sin(-x)=x^4+\tg^2 x+x\sin x=y(x).$$

   Следовательно, функция чётная.

4. $$y=\dfrac{\tg x-\ctg x}{|x|}$$

   Область определения: $$x\neq \dfrac{\pi n}{2},\; n\in \mathbb{Z}.$$

   Найдём $$y(-x)$$:

   $$y(-x)=\dfrac{\tg(-x)-\ctg(-x)}{|-x|} =\dfrac{-\tg x+\ctg x}{|x|} =-\dfrac{\tg x-\ctg x}{|x|} =-y(x).$$

   Значит, функция нечётная.

Ответ: а) нечётная; б) нечётная; в) чётная; г) нечётная.