Упр.68 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Найдите $$x$$, если:

а) $$\log(4;x)=2\log(4;10)+\frac{3}{4}\log(4;81)-\frac{2}{3}\log(4;125)$$;

б) $$\log\left(\frac{1}{3};x\right)=\frac{1}{2}\log\left(\frac{1}{3};16\right)-\log\left(\frac{1}{3};8\right)+\log\left(\frac{1}{3};28\right)$$.

Подробный ответ

Используем свойства логарифмов:

$$a\log_b m=\log_b m^a,\qquad \log_b u+\log_b v=\log_b(uv),\qquad \log_b u-\log_b v=\log_b\left(\frac{u}{v}\right).$$

Ход решения

а)

$$\log_4 x=2\log_4 10+\frac34\log_4 81-\frac23\log_4 125$$
$$=\log_4 10^2+\log_4 81^{3/4}-\log_4 125^{2/3}$$
$$=\log_4\left(\frac{10^2\cdot 81^{3/4}}{125^{2/3}}\right).$$

Вычислим степени:

$$81^{3/4}=(3^4)^{3/4}=3^3=27,\qquad 125^{2/3}=(5^3)^{2/3}=5^2=25.$$

$$\log_4 x=\log_4\left(\frac{100\cdot 27}{25}\right)=\log_4 108.$$

Значит, $$x=108.$$

б)

$$\log_{1/3} x=\frac12\log_{1/3} 16-\log_{1/3} 8+\log_{1/3} 28$$
$$=\log_{1/3} 16^{1/2}-\log_{1/3} 8+\log_{1/3} 28$$
$$=\log_{1/3}\left(\frac{16^{1/2}\cdot 28}{8}\right).$$

Так как $$16^{1/2}=4,$$ получаем:

$$\log_{1/3} x=\log_{1/3}\left(\frac{4\cdot 28}{8}\right)=\log_{1/3} 14.$$

Следовательно, $$x=14.$$