Упр.68 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Среди функций вида $$f(x)=ax+b$$ найдите все такие, что для любого $$x$$:
а) $$f(f(x))=f(x)$$;
б) $$f(f(x))=x$$.
Для функции $$f(x)=ax+b$$ рассмотрим оба случая.
а) $$f(f(x))=f(x)$$
Вычислим композицию:
$$f(f(x))=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b.$$
По условию
$$a^2x+ab+b=ax+b.$$
Сравним коэффициенты при $$x$$ и свободные члены:
$$a^2=a,$$
$$ab+b=b.$$
Из первого уравнения:
$$a(a-1)=0,$$
значит, $$a=0$$ или $$a=1$$.
1) Если $$a=0$$, то из $$ab+b=b$$ получаем тождество, и $$b$$ — любое число. Тогда
$$f(x)=b.$$
2) Если $$a=1$$, то из $$ab+b=b$$ имеем
$$2b=b,$$
откуда $$b=0$$. Тогда
$$f(x)=x.$$
б) $$f(f(x))=x$$
Снова вычислим композицию:
$$f(f(x))=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b.$$
По условию
$$a^2x+ab+b=x.$$
Сравним коэффициенты:
$$a^2=1,$$
$$ab+b=0.$$
Из первого уравнения:
$$a=\pm 1.$$
1) Если $$a=1$$, то
$$2b=0,$$
значит, $$b=0$$, и
$$f(x)=x.$$
2) Если $$a=-1$$, то
$$-b+b=0,$$
что верно при любом $$b$$. Тогда
$$f(x)=-x+b=b-x.$$
Ответ
а) $$f(x)=b$$ или $$f(x)=x$$.
б) $$f(x)=x$$ или $$f(x)=b-x$$.
