Упр.68 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Проверять период нужно по определению: если число $$T$$ — период функции $$f$$, то должно выполняться равенство $$f(x+T)=f(x)$$ для любого $$x$$ из области определения функции.

а)

$$f(x)=\sin x,\quad T=\frac{2\pi}{3}.$$

Проверим, например, при $$x=0$$:

$$f(0)=\sin 0=0,$$

$$f\!\left(0+\frac{2\pi}{3}\right)=\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Так как $$f\!\left(0+\frac{2\pi}{3}\right)\ne f(0),$$ число $$T=\frac{2\pi}{3}$$ не является периодом функции $$\sin x$$.

У функции $$\sin x$$ период равен $$2\pi$$.

б)

$$f(x)=\cos x,\quad T=\pi.$$

Проверим при $$x=0$$:

$$f(0)=\cos 0=1,$$

$$f(0+\pi)=\cos\pi=-1.$$

Следовательно, $$f(x+\pi)\ne f(x)$$ для всех $$x$$, значит, $$T=\pi$$ не является периодом функции $$\cos x$$.

У функции $$\cos x$$ период равен $$2\pi$$.

в)

$$f(x)=\begin{cases} x+1, & x\le 1,\\ 3-x, & x>1 \end{cases},\quad T=3.$$

Проверим при $$x=5$$:

$$f(5)=3-5=-2,$$

$$f(5+3)=f(8)=3-8=-5.$$

Так как $$f(8)\ne f(5),$$ число $$T=3$$ не является периодом функции.

Кроме того, эта функция не периодическая.

г)

$$f(x)=x+|x|,\quad T=3.$$

Проверим при $$x=-4$$:

$$f(-4)=-4+|-4|=0,$$

$$f(-4+3)=f(-1)=-1+|-1|=0.$$

Для этого значения $$x$$ равенство выполняется, но этого недостаточно. Проверим при $$x=5$$:

$$f(5)=5+|5|=10,$$

$$f(5+3)=f(8)=8+|8|=16.$$

Так как $$f(8)\ne f(5),$$ число $$T=3$$ не является периодом функции.

Функция $$f(x)=x+|x|$$ не периодическая.

Ответ

а) Нет, $$T=\frac{2\pi}{3}$$ не является периодом; период функции $$\sin x$$ равен $$2\pi$$.
б) Нет, $$T=\pi$$ не является периодом; период функции $$\cos x$$ равен $$2\pi$$.
в) Нет, $$T=3$$ не является периодом; функция не периодическая.
г) Нет, $$T=3$$ не является периодом; функция не периодическая.