Упр.67 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Прологарифмируйте по основанию $$a$$ выражение:

а) $$25b^3(c^7)^{1/4}$$ при $$a=5$$;

б) $$\frac{0{,}0016b^4}{c(c^2)^{1/7}}$$ при $$a=0{,}2$$, $$b>0$$, $$c>0$$.

а) $$\log_5\!\left(25b^3\sqrt[4]{c^7}\right)=\log_5 25+\log_5 b^3+\log_5 c^{7/4}.$$

Так как $$25=5^2,$$ то

$$\log_5 25=2,\qquad \log_5 b^3=3\log_5 b,\qquad \log_5 c^{7/4}=\frac{7}{4}\log_5 c.$$

Следовательно,

$$\log_5\!\left(25b^3\sqrt[4]{c^7}\right)=2+3\log_5 b+\frac{7}{4}\log_5 c.$$

б) $$\log_{0,2}\!\left(\frac{0,0016b^4}{c\sqrt[7]{c^2}}\right)=\log_{0,2}0,0016+\log_{0,2}b^4-\log_{0,2}\!\left(c\sqrt[7]{c^2}\right).$$

Преобразуем множители:

$$0,0016=(0,2)^4,$$

поэтому

$$\log_{0,2}0,0016=4,\qquad \log_{0,2}b^4=4\log_{0,2}b.$$

Кроме того,

$$c\sqrt[7]{c^2}=c\cdot c^{2/7}=c^{9/7},$$

значит

$$\log_{0,2}\!\left(c\sqrt[7]{c^2}\right)=\frac{9}{7}\log_{0,2}c.$$

Итак,

$$\log_{0,2}\!\left(\frac{0,0016b^4}{c\sqrt[7]{c^2}}\right)=4+4\log_{0,2}b-\frac{9}{7}\log_{0,2}c.$$

Ответ

а) $$2+3\log_5 b+\frac{7}{4}\log_5 c$$; б) $$4+4\log_{0,2}b-\frac{9}{7}\log_{0,2}c$$.