Упр.67 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

При каких $$n$$ функция $$f$$ может иметь ровно $$n$$ точек экстремума, если известно, что $$f$$: а) чётная; б) нечётная; в) периодическая функция?

а) Для чётной функции каждой точке экстремума $$a$$ соответствует симметричная точка $$-a$$, причём $$f(a)=f(-a)$$. Поэтому число точек экстремума может быть любым.

Ответ: при любом $$n$$.

б) Для нечётной функции точке экстремума $$a$$ соответствует точка $$-a$$, и значения в них противоположны: $$f(-a)=-f(a)$$. Значит, точки экстремума идут попарно, поэтому их число должно быть чётным.

Ответ: при чётном $$n$$.

в) Если функция периодическая, то вместе с каждой точкой экстремума $$a$$ существуют точки $$a+T$$, $$a+2T$$ и т. д., где $$T$$ — период. Следовательно, точек экстремума бесконечно много, а конечного числа $$n$$ быть не может.

Ответ: таких $$n$$ нет.