Упр.66 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Пусть $$f$$ — возрастающая и положительная на всей числовой прямой функция. Докажите, что:
   а) функция $$y=f^2(x)$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$;
   б) функция $$y=\frac{1}{f(x)}$$ убывает на $$\mathbb{R}$$;
   в) функция $$y=v(f(x))$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$;
   г) функция $$y=\lg(f(x))$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$.

Пусть $$f(x)$$ — возрастающая и положительная на всей числовой прямой функция. Тогда при $$x_2>x_1$$ имеем

$$f(x_2)>f(x_1)>0.$$

Ход решения

1. Докажем, что функция $$y=f^2(x)$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$.

   Так как $$f(x_2)>f(x_1)>0$$, то после возведения в квадрат получаем

   $$f^2(x_2)>f^2(x_1).$$

   Значит, $$y=f^2(x)$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$.

2. Докажем, что функция $$y=\dfrac{1}{f(x)}$$ убывает на $$\mathbb{R}$$.

   Из неравенства $$f(x_2)>f(x_1)>0$$ следует

   $$\frac{1}{f(x_2)}<\frac{1}{f(x_1)}.$$

   Следовательно, $$y=\dfrac{1}{f(x)}$$ убывает на $$\mathbb{R}$$.

3. Докажем, что функция $$y=\sqrt{f(x)}$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$.

   Так как $$f(x_2)>f(x_1)>0$$, то, извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем

   $$\sqrt{f(x_2)}>\sqrt{f(x_1)}.$$

   Значит, $$y=\sqrt{f(x)}$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$.

4. Докажем, что функция $$y=\lg(f(x))$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$.

   Поскольку логарифмическая функция с основанием $$10$$ возрастает, из $$f(x_2)>f(x_1)>0$$ следует

   $$\lg f(x_2)>\lg f(x_1).$$

   Следовательно, $$y=\lg(f(x))$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$.

Ответ

$$f^2(x)$$ возрастает, $$\dfrac{1}{f(x)}$$ убывает, $$\sqrt{f(x)}$$ возрастает, $$\lg(f(x))$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$.