Упр.65 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Известно, что функция $$y=f(x)$$: 1) возрастает; 2) убывает на промежутке $$I$$. Является ли функция $$y=kf(x)$$ возрастающей (убывающей) на промежутке $$I$$, если известно, что: а) $$k>0$$; б) $$k<0$$?

1) Если функция $$y=f(x)$$ возрастает на промежутке $$I$$, то для любых $$x_2>x_1$$ выполняется $$f(x_2)>f(x_1)$$.

Тогда:

а) при $$k>0$$ после умножения неравенство сохраняется:

$$kf(x_2)>kf(x_1),$$

значит, функция $$y=kf(x)$$ возрастает на $$I$$;

б) при $$k<0$$ знак неравенства меняется:

$$kf(x_2)<kf(x_1),$$

значит, функция $$y=kf(x)$$ убывает на $$I$$.

2) Если функция $$y=f(x)$$ убывает на промежутке $$I$$, то для любых $$x_2>x_1$$ выполняется $$f(x_2)<f(x_1)$$.

Тогда:

а) при $$k>0$$ знак неравенства сохраняется:

$$kf(x_2)<kf(x_1),$$

значит, функция $$y=kf(x)$$ убывает на $$I$$;

б) при $$k<0$$ знак неравенства меняется:

$$kf(x_2)>kf(x_1),$$

значит, функция $$y=kf(x)$$ возрастает на $$I$$.

Ответ: 1) а) возрастает; б) убывает. 2) а) убывает; б) возрастает.