Упр.65 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Используем формулы приведения к одному тригонометрическому выражению и найдём период каждой функции.

1. $$y=\sin x\cos x=\frac12\sin 2x.$$

   У функции $$\sin 2x$$ период равен $$\frac{2\pi}{2}=\pi$$, значит наименьший положительный период функции $$y=\sin x\cos x$$ равен $$\pi$$.

2. $$y=\sin x\sin 4x-\cos x\cos 4x=-\cos( x+4x)=-\cos 5x.$$

   У функции $$\cos 5x$$ период равен $$\frac{2\pi}{5}$$, значит наименьший положительный период функции $$y=-\cos 5x$$ равен $$\frac{2\pi}{5}$$.

3. $$y=\sin^2 x-\cos^2 x=-(\cos^2 x-\sin^2 x)=-\cos 2x.$$

   У функции $$\cos 2x$$ период равен $$\frac{2\pi}{2}=\pi$$, значит наименьший положительный период функции $$y=\sin^2 x-\cos^2 x$$ равен $$\pi$$.

4. $$y=\sin 3x\cos x+\cos 3x\sin x=\sin(3x+x)=\sin 4x.$$

   У функции $$\sin 4x$$ период равен $$\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$$, значит наименьший положительный период функции $$y=\sin 4x$$ равен $$\frac{\pi}{2}$$.

Ответ: а) $$\pi$$; б) $$\frac{2\pi}{5}$$; в) $$\pi$$; г) $$\frac{\pi}{2}$$.