Упр.64 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Упростите выражение:

а) $$81^{\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\log_{9}4\right)}+25^{\log_{125}8}$$;

б) $$2^{4\log_{4}a}-5^{\frac{1}{2}\log_{\sqrt{5}}a}-a^0$$.

а) $$81^{\frac14-\frac12\log_9 4}+25^{\log_{125} 8}$$

$$81=9^2,\quad 25=5^2,\quad 125=5^3$$

Тогда

$$81^{\frac14-\frac12\log_9 4}=(9^2)^{\frac14-\frac12\log_9 4}=9^{\frac12-\log_9 4}=\frac{9^{1/2}}{9^{\log_9 4}}=\frac{3}{4}$$

и

$$25^{\log_{125} 8}=(5^2)^{\log_{5^3} 8}=5^{2\log_{5^3} 8}=5^{\frac23\log_5 8}=8^{2/3}=4.$$

Следовательно,

$$81^{\frac14-\frac12\log_9 4}+25^{\log_{125} 8}=\frac34+4=\frac{19}{4}.$$

б) $$2^{4\log_4 a}-5^{\frac12\log_{\sqrt5} a}-a^0$$

Так как $$a>0,$$ то $$a^0=1.$$ Кроме того,

$$4\log_4 a=2\log_2 a,$$

поэтому

$$2^{4\log_4 a}=2^{2\log_2 a}=\left(2^{\log_2 a}\right)^2=a^2.$$

Далее,

$$\frac12\log_{\sqrt5} a=\log_5 a,$$

значит

$$5^{\frac12\log_{\sqrt5} a}=5^{\log_5 a}=a.$$

Итак,

$$2^{4\log_4 a}-5^{\frac12\log_{\sqrt5} a}-a^0=a^2-a-1.$$

Ответ: а) $$\frac{19}{4}$$; б) $$a^2-a-1.$$