Упр.63 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Сравните числа: а) $$\log_{2}3$$ и $$\log_{5}8$$; б) $$\log_{9}10$$ и $$\lg 11$$; в) $$2^{3^{100}}$$ и $$3^{2^{150}}$$; г) $$\operatorname{cosec}\frac{1}{2}$$ и $$4\left(1-\sin\frac{1}{2}\right)$$.
а) Так как $$2<5$$ и $$3>1,\;8>1,$$ сравним числа по основанию и аргументу через удобные оценки:
$$\log_2 3>1,\qquad \log_5 8>1.$$
Проверим точнее:
$$2^1=2<3<4=2^2 \Rightarrow \log_2 3>1,$$
$$5^1=5<8<25=5^2 \Rightarrow \log_5 8>1.$$
Сравним сами значения: при меньшем основании и меньшем аргументе логарифм больше, поэтому
$$\log_2 3>\log_5 8.$$
б) Имеем
$$\lg 11=\frac{\lg 11\cdot \lg 9}{\lg 9}.$$
Так как $$9<10<11,$$ то
$$\lg 9<\lg 10<\lg 11.$$
Следовательно,
$$\log_9 10=\frac{\lg 10}{\lg 9}.$$
Поскольку $$\lg 10=1,$$ а $$\lg 11>1,$$ то
$$\log_9 10=\frac{1}{\lg 9} > \lg 11.$$
Значит,
$$\log_9 10>\lg 11.$$
в) Сравним числа, возведя их в степень $$\frac1{50}$$:
$$\left(2^{3^{100}}\right)^{\frac1{2^{150}}}=2^{\frac{3^{100}}{2^{150}}},\qquad \left(3^{2^{150}}\right)^{\frac1{2^{150}}}=3.$$
Достаточно сравнить $$\frac{3^{100}}{2^{150}}$$ и $$1$$. Заметим, что
$$\frac{3^{100}}{2^{150}}=\left(\frac{9}{8}\right)^{50}.$$
Так как $$\frac98>1,$$ то
$$\left(\frac98\right)^{50}>1.$$
Следовательно,
$$2^{3^{100}}>3^{2^{150}}.$$
г) Преобразуем неравенство:
$$\csc \frac12>4\left(1-\sin \frac12\right).$$
Так как $$\csc \frac12=\frac1{\sin \frac12},$$ получаем
$$\frac1{\sin \frac12}-4+4\sin \frac12>0.$$
Умножим на $$\sin \frac12>0$$:
$$1-4\sin \frac12+4\sin^2\frac12>0.$$
То есть
$$\left(2\sin \frac12-1\right)^2>0.$$
Это верно, так как $$2\sin \frac12\neq 1.$$ Значит,
$$\csc \frac12>4\left(1-\sin \frac12\right).$$
Ответ: а) $$\log_2 3>\log_5 8$$; б) $$\log_9 10>\lg 11$$; в) $$2^{3^{100}}>3^{2^{150}}$$; г) $$\csc \frac12>4\left(1-\sin \frac12\right).$$
