Упр.62 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Сравните числа:

1. $$3^{400}$$ и $$4^{300}$$;
2. $$-\log(5;\frac{1}{5})$$ и $$7^{\log(3;1)}$$;
3. $$5^{200}$$ и $$2^{500}$$;
4. $$\log(5;\sqrt{2})$$ и $$\log(3;\frac{1}{81})$$.

Сравним числа, приводя их к удобному виду.

1. $$3^{400}=(3^4)^{100}=81^{100}, \qquad 4^{300}=(4^3)^{100}=64^{100}.$$

   Так как $$81>64,$$ то

   $$3^{400}>4^{300}.$$

2. Используем свойства логарифмов:

   $$-\log_5 \frac{1}{5}=\log_5 5=1,$$

   $$7^{\log_3 1}=7^0=1.$$

   Следовательно,

   $$-\log_5 \frac{1}{5}=7^{\log_3 1}.$$

3. $$5^{200}=(5^2)^{100}=25^{100}, \qquad 2^{500}=(2^5)^{100}=32^{100}.$$

   Так как $$25<32,$$ то

   $$5^{200}<2^{500}.$$

4. Найдём значения логарифмов:

   $$\log_4 \sqrt{2}=\log_4 2^{1/2}=\frac{1}{2}\log_4 2=\frac{1}{4},$$

   $$\log_3 \frac{1}{81}=\log_3 3^{-4}=-4.$$

   Так как $$\frac{1}{4}>-4,$$ то

   $$\log_4 \sqrt{2}>\log_3 \frac{1}{81}.$$

Ответ: а) $$3^{400}>4^{300}$$; б) $$-\log_5 \frac{1}{5}=7^{\log_3 1}$$; в) $$5^{200}<2^{500}$$; г) $$\log_4 \sqrt{2}>\log_3 \frac{1}{81}$$.