Упр.62 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Докажите, что функция не является периодической:
а) $$y=\sqrt{x}$$;
б) $$y=\sin|x|$$;
в) $$y=x^2+x+1$$;
г) $$y=\sin x+\sin\sqrt{2}x$$.
а) Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{x}.$$
Область определения этой функции: $$x\ge 0.$$
Если бы функция была периодической с периодом $$T>0,$$ то для любого допустимого $$x$$ должно было бы выполняться равенство $$f(x+T)=f(x).$$
Возьмём, например, $$x=0.$$ Тогда $$f(0)=0,$$ а при любом $$T>0$$ имеем $$f(T)=\sqrt{T}>0.$$ Значит, $$f(T)\ne f(0),$$ и период не существует.
Следовательно, функция $$y=\sqrt{x}$$ не является периодической.
б) Рассмотрим функцию $$y=\sin|x|.$$
Предположим, что у неё есть период $$T>0.$$ Тогда для всех $$x$$ должно выполняться
$$\sin|x+T|=\sin|x|.$$
Но из равенства аргументов следует, что должно быть $$|x+T|=|x|$$ для всех $$x,$$ что невозможно. Действительно, при $$x=0$$ получаем $$|T|=0,$$ то есть $$T=0,$$ что противоречит условию периода.
Значит, функция $$y=\sin|x|$$ не является периодической.
в) Рассмотрим функцию $$y=x^2+x+1.$$
Если бы она была периодической с периодом $$T>0,$$ то для всех $$x$$ выполнялось бы
$$f(x+T)=f(x).$$
Тогда
$$(x+T)^2+(x+T)+1=x^2+x+1.$$
Раскроем скобки:
$$x^2+2Tx+T^2+x+T+1=x^2+x+1.$$
После сокращения получаем
$$2Tx+T^2+T=0$$
для всех $$x,$$ что возможно только при $$T=0.$$ Но период должен быть положительным.
Следовательно, функция $$y=x^2+x+1$$ не является периодической.
г) Рассмотрим функцию $$y=\sin x+\sin(x\sqrt{2}).$$
У функции $$\sin x$$ период равен $$2\pi,$$ а у функции $$\sin(x\sqrt{2})$$ период равен
$$\frac{2\pi}{\sqrt{2}}.$$
Если бы сумма была периодической, то её период должен был бы быть общим периодом обеих слагаемых. Но отношение этих периодов равно
$$\frac{2\pi}{2\pi/\sqrt{2}}=\sqrt{2},$$
а число $$\sqrt{2}$$ иррационально. Значит, общего ненулевого периода у этих функций нет.
Следовательно, функция $$y=\sin x+\sin(x\sqrt{2})$$ не является периодической.
Ответ: все данные функции не являются периодическими.
