Упр.61 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите сумму $$\operatorname{tg}^2\left(\frac{x}{2}\right)+\operatorname{tg}^2\left(\frac{y}{2}\right)+\operatorname{tg}^2\left(\frac{z}{2}\right)$$, если $$\cos x=\frac{a}{b+c},\quad \cos y=\frac{b}{c+a},\quad \cos z=\frac{c}{a+b},\quad a+b+c\ne0$$.

Используем формулу

$$\tg^2\frac{t}{2}=\frac{1-\cos t}{1+\cos t}.$$

Тогда

$$\tg^2\frac{x}{2}+\tg^2\frac{y}{2}+\tg^2\frac{z}{2} = \frac{1-\cos x}{1+\cos x} +\frac{1-\cos y}{1+\cos y} +\frac{1-\cos z}{1+\cos z}.$$

Подставим данные значения:

$$\frac{1-\frac{a}{b+c}}{1+\frac{a}{b+c}} +\frac{1-\frac{b}{c+a}}{1+\frac{b}{c+a}} +\frac{1-\frac{c}{a+b}}{1+\frac{c}{a+b}}.$$

Преобразуем каждую дробь:

$$\frac{b+c-a}{b+c+a} +\frac{c+a-b}{c+a+b} +\frac{a+b-c}{a+b+c}.$$

Так как знаменатели одинаковы, получаем

$$\frac{(b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c)}{a+b+c} = \frac{a+b+c}{a+b+c} =1.$$

Ответ: $$1$$