Упр.61 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите наименьший положительный период функции:
   а) $$y=\cos^3 x$$;
   б) $$y=\sqrt{|\sin(2x)|}$$;
   в) $$y=\cos(x\sqrt{2})+\cos\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)$$;
   г) $$y=\{-1-2x\}$$.

1. $$y=\cos^3 x.$$

   Так как функция $$\cos x$$ имеет наименьший положительный период $$2\pi$$, то и функция $$\cos^3 x$$ имеет тот же период:

   $$T=2\pi.$$

2. $$y=\sqrt{|\sin 2x|}.$$

   Найдём период выражения под корнем:

   $$|\sin 2(x+T)|=|\sin 2x|.$$

   Для функции $$\sin 2x$$ наименьший положительный период равен $$\pi$$, а модуль не изменяет этот период. Значит,

   $$2T=\pi,\qquad T=\frac{\pi}{2}.$$

3. $$y=\cos(x\sqrt{2})+\cos\frac{x}{\sqrt{2}}.$$

   Найдём периоды слагаемых:

   $$T_1=\frac{2\pi}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\pi,\qquad T_2=2\pi\sqrt{2}.$$

   Наименьший общий положительный период суммы равен $$2\pi\sqrt{2}$$.

4. $$y=\{-1-2x\}.$$

   Для периодичности должно выполняться:

   $$-1-2(x+T)=-1-2x.$$

   Тогда

   $$-2T=0,$$

   что невозможно для положительного $$T$$. Следовательно, функция не является периодической.

Ответ

а) $$2\pi$$; б) $$\frac{\pi}{2}$$; в) $$2\sqrt{2}\pi$$; г) функция не имеет периода.