Упр.60 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Докажите, что функция не является периодической: а) $$f(x)=\cos(x)\cos(x\sqrt{2})$$; б) $$f(x)=\cos(x)+\cos(x\sqrt{2})$$; в) $$f(x)=\sin(x^2)$$; г) $$f(x)=\sin(\sqrt{x})$$.
а) $$f(x)=\cos x\cdot \cos(x\sqrt2).$$
Используем формулу произведения косинусов:
$$\cos x\cos(x\sqrt2)=\frac{\cos\bigl(x(1+\sqrt2)\bigr)+\cos\bigl(x(1-\sqrt2)\bigr)}{2}.$$
Если бы функция была периодической с периодом $$T,$$ то для каждого слагаемого должны существовать периоды, согласованные с этим $$T.$$ Для косинуса это означает, что
$$T_1=\frac{2\pi}{1+\sqrt2}, \qquad T_2=\frac{2\pi}{1-\sqrt2}.$$
Тогда
$$\frac{T_1}{T_2}=\frac{1-\sqrt2}{1+\sqrt2}=2\sqrt2-3,$$
а это число иррационально, значит, общего периода у функции нет. Следовательно, функция не периодическая.
б) $$f(x)=\cos x+\cos(x\sqrt2).$$
Если бы сумма была периодической, то её период должен был бы быть общим периодом для функций $$\cos x$$ и $$\cos(x\sqrt2).$$
У первой функции период $$T_1=2\pi,$$ у второй — $$T_2=\frac{2\pi}{\sqrt2}.$$
Их отношение
$$\frac{T_1}{T_2}=\sqrt2$$
иррационально, значит, общего периода нет. Следовательно, функция не периодическая.
в) $$f(x)=\sin x^2.$$
Предположим, что у функции есть период $$T\neq 0.$$ Тогда для всех $$x$$
$$\sin\bigl((x+T)^2\bigr)=\sin(x^2).$$
Это возможно лишь при выполнении равенства аргументов с точностью до постоянного сдвига, то есть
$$(x+T)^2=x^2+2xT+T^2,$$
и тогда должно быть
$$x^2+2xT+T^2=x^2.$$
Отсюда
$$2xT+T^2=0$$
для всех $$x,$$ что невозможно при постоянном $$T\neq 0.$$ Значит, период у функции отсутствует.
г) $$f(x)=\sin\sqrt{x}.$$
Область определения этой функции:
$$x\ge 0.$$
Периодическая функция должна быть определена при всех значениях $$x,$$ получающихся после прибавления и вычитания периода. Но для любого $$T>0$$ найдутся значения $$x\in[0,+\infty),$$ для которых $$x-T<0,$$ то есть функция не будет определена на всей числовой прямой. Следовательно, функция $$\sin\sqrt{x}$$ не может быть периодической.
Ответ: все четыре функции не являются периодическими.
