Упр.60 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Проверим для каждой функции, выполняется ли условие $$f(-x)=-f(x).$$
$$f(x)=\frac{x^4+1}{2x^3}.$$
Область определения: $$2x^3\neq 0,\quad x\neq 0.$$ Она симметрична относительно нуля.
Найдём $$f(-x):$$
$$f(-x)=\frac{(-x)^4+1}{2(-x)^3} =\frac{x^4+1}{-2x^3} =-\frac{x^4+1}{2x^3} =-f(x).$$
Следовательно, функция нечётная.
$$f(x)=\frac{\cos x^3}{x(25-x^2)}.$$
Область определения: $$x(25-x^2)\neq 0,\quad x\neq 0,\ x\neq \pm 5.$$ Она симметрична относительно нуля.
Найдём $$f(-x):$$
$$f(-x)=\frac{\cos(-x)^3}{(-x)\bigl(25-(-x)^2\bigr)} =\frac{\cos x^3}{-x(25-x^2)} =-f(x).$$
Следовательно, функция нечётная.
$$f(x)=\frac{3x}{x^6+2}.$$
Область определения — вся числовая прямая, она симметрична относительно нуля.
Найдём $$f(-x):$$
$$f(-x)=\frac{3(-x)}{(-x)^6+2} =\frac{-3x}{x^6+2} =-f(x).$$
Следовательно, функция нечётная.
$$f(x)=\frac{x^2\sin x}{x^2-9}.$$
Область определения: $$x^2-9\neq 0,\quad x\neq \pm 3.$$ Она симметрична относительно нуля.
Найдём $$f(-x):$$
$$f(-x)=\frac{(-x)^2\sin(-x)}{(-x)^2-9} =\frac{x^2(-\sin x)}{x^2-9} =-\frac{x^2\sin x}{x^2-9} =-f(x).$$
Следовательно, функция нечётная.
Ответ: все четыре функции нечётные.
