Упр.6 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что если дробь $$\frac{a}{b}$$ несократима, то несократима и дробь $$\frac{ab}{a+b}$$.

Пусть дробь $$\frac{a}{b}$$ несократима. Докажем, что тогда дробь $$\frac{ab}{a+b}$$ тоже несократима.

Предположим противное: дробь $$\frac{ab}{a+b}$$ сократима. Тогда существует число $$k>1$$, такое что

$$ab: k,\qquad a+b: k.$$

Из делимости $$ab: k$$ следует, что $$a: k$$ или $$b: k$$.

Если $$a: k$$, то из делимости $$a+b: k$$ получаем и $$b: k$$. Тогда дробь $$\frac{a}{b}$$ сократима, что противоречит условию.

Если $$b: k$$, то аналогично из $$a+b: k$$ следует $$a: k$$, и снова дробь $$\frac{a}{b}$$ сократима. Противоречие.

Значит, предположение неверно, и дробь $$\frac{ab}{a+b}$$ несократима.

Ответ

$$\frac{ab}{a+b}$$ несократима.