Упр.6 Глава 4 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Дайте определение логарифма числа.
2. Найдите: а) $$\log_{2}(16\sqrt{2})$$; б) $$\log_{0{,}2}25$$; в) $$\lg 0{,}01$$; г) $$\log_{\frac{1}{3}}\sqrt{3}$$.
3. Запишите основное логарифмическое тождество. С его помощью вычислите: а) $$3^{2+\log_{3}5}$$; б) $$\left(\frac{1}{2}\right)^{1+\log_{2}3}$$; в) $$5^{-1+\log_{5}2}$$; г) $$0{,}2^{1+\log_{0{,}2}5}$$.

1) Логарифмом числа $$b$$ по основанию $$a$$ называется показатель степени, в которую нужно возвести $$a$$, чтобы получить число $$b$$.

2) Найдём значения:

$$\log_2(16\sqrt{2})=\log_2\left(2^4\cdot 2^{1/2}\right)=4+\frac12=4{,}5$$
$$\log_{0{,}2}25=\log_{5^{-1}}5^2=\frac{2}{-1}=-2$$
$$\lg 0{,}01=\lg 10^{-2}=-2$$
$$\log_{\frac13}\sqrt{3}=\log_{3^{-1}}3^{1/2}=\frac{1/2}{-1}=-\frac12=-0{,}5$$

3) Основное логарифмическое тождество:

$$a^{\log_a b}=b,\quad b>0,\ a>0,\ a\ne 1.$$

С его помощью вычислим:

$$3^{2+\log_3 5}=3^2\cdot 3^{\log_3 5}=9\cdot 5=45$$
$$\left(\frac12\right)^{1+\log_2 3}=\frac12\cdot 2^{-\log_2 3}=\frac12\cdot \frac13=\frac16$$
$$5^{-1+\log_5 2}=\frac15\cdot 5^{\log_5 2}=\frac15\cdot 2=0{,}4$$
$$0{,}2^{\,1+\log_{0{,}2} 5}=0{,}2\cdot 0{,}2^{\log_{0{,}2} 5}=0{,}2\cdot 5=1$$

Ответ: 1) логарифм — показатель степени; 2) $$4{,}5$$; $$-2$$; $$-2$$; $$-0{,}5$$; 3) $$a^{\log_a b}=b$$; $$45$$; $$\frac16$$; $$0{,}4$$; $$1$$.