Упр.6 Глава 2 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Запишите общую формулу для приближённого вычисления значения функции, дифференцируемой в точке $$x_0$$.
- Выпишите формулы для приближённого вычисления значений функции:
а) $$f(x)=x^n$$;
б) $$f(x)=\cos(x)$$;
в) $$f(x)=\sqrt{x}$$;
г) $$f(x)=\frac{1}{x}$$. - Вычислите приближённые значения:
а) $$\frac{1}{1{,}001^{10}}$$;
б) $$\sin(59^\circ)$$;
в) $$\sqrt{9{,}009}$$;
г) $$0{,}999^{15}$$.
1) Для дифференцируемой в точке $$x_0$$ функции приближённое значение вычисляют по формуле
$$f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\cdot \Delta x,$$
где $$\Delta x=x-x_0.$$
2) Формулы для приближённого вычисления:
- если $$f(x)=x^n,$$ то
$$f(x)\approx x_0^n+n x_0^{\,n-1}\Delta x;$$
- если $$f(x)=\cos x,$$ то
$$f(x)\approx \cos x_0-\sin x_0\cdot \Delta x;$$
- если $$f(x)=\sqrt{x},$$ то
$$f(x)\approx \sqrt{x_0}+\frac{\Delta x}{2\sqrt{x_0}};$$
- если $$f(x)=\frac{1}{x},$$ то
$$f(x)\approx \frac{1}{x_0}-\frac{\Delta x}{x_0^2}.$$
3) Найдём приближённые значения.
$$\frac{1}{1{,}001^{10}}=\left(1{,}001\right)^{-10}.$$
Берём $$f(x)=x^{-10},\ x_0=1,\ \Delta x=0{,}001.$$ Тогда
$$f(x)\approx 1-10\cdot 0{,}001=0{,}99.$$
$$\sin 59^\circ=\sin\left(60^\circ-1^\circ\right).$$
Берём $$f(x)=\sin x,\ x_0=\frac{\pi}{3},\ \Delta x=-\frac{\pi}{180}.$$ Тогда
$$\sin x\approx \sin x_0+\cos x_0\cdot \Delta x$$
$$\sin 59^\circ\approx \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi}{360}\approx 0{,}8573.$$
$$\sqrt{9{,}009}=\sqrt{9+0{,}009}.$$
Берём $$f(x)=\sqrt{x},\ x_0=9,\ \Delta x=0{,}009.$$ Тогда
$$\sqrt{x}\approx \sqrt{x_0}+\frac{\Delta x}{2\sqrt{x_0}}=3+\frac{0{,}009}{2\cdot 3}=3{,}0015.$$
$$0{,}999^{15}=(1-0{,}001)^{15}.$$
Берём $$f(x)=x^{15},\ x_0=1,\ \Delta x=-0{,}001.$$ Тогда
$$f(x)\approx 1+15\cdot(-0{,}001)=0{,}985.$$
Ответ
1) $$f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x.$$
2) $$x^n\approx x_0^n+n x_0^{\,n-1}\Delta x,$$ $$\cos x\approx \cos x_0-\sin x_0\Delta x,$$ $$\sqrt{x}\approx \sqrt{x_0}+\frac{\Delta x}{2\sqrt{x_0}},$$ $$\frac{1}{x}\approx \frac{1}{x_0}-\frac{\Delta x}{x_0^2}.$$
3) а) $$0{,}99$$; б) $$0{,}8573$$; в) $$3{,}0015$$; г) $$0{,}985$$.
