Упр.6 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Сформулируйте мнемоническое правило для запоминания формул приведения. Запишите несколько формул приведения.
- Приведите к значению тригонометрической функции наименьшего положительного аргумента:
а) $$\sin\left(-\frac{13\pi}{8}\right)$$;
б) $$\operatorname{ctg}\left(\frac{21\pi}{13}\right)$$;
в) $$\operatorname{tg}\left(-\frac{14\pi}{3}\right)$$;
г) $$\cos\left(\frac{8\pi}{3}\right)$$. - Упростите выражение:
а) $$\sin\frac{7\pi}{8}+\cos\frac{5\pi}{8}+\operatorname{tg}\frac{7\pi}{4}$$;
б) $$\frac{\sin(\pi-\alpha)\cos(\pi+\alpha)\operatorname{tg}(-\alpha)}{\sin\left(\alpha-\frac{3\pi}{2}\right)\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)}$$;
в) $$\operatorname{ctg}\frac{9\pi}{4}+\sin\frac{37\pi}{12}-\cos\frac{7\pi}{12}$$;
г) $$\frac{\sin(\pi-\alpha)\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}{\cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)\operatorname{ctg}(\pi-\alpha)}$$.
1) Мнемоническое правило для формул приведения можно сформулировать так: перед приведённой функцией ставится знак исходной функции при $$0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}$$, а сама функция меняется на кофункцию, если число $$n$$ нечётно, и не меняется, если $$n$$ чётно.
Например:
$$\varphi=\dfrac{n\pi}{2}+\alpha,\qquad \sin\varphi,\ \cos\varphi,\ \tg\varphi,\ \ctg\varphi.$$
2) Приведём функции к значению с наименьшим положительным аргументом:
$$\sin\left(-\dfrac{13\pi}{8}\right)=\sin\left(2\pi-\dfrac{13\pi}{8}\right)=\sin\dfrac{3\pi}{8};$$
$$\ctg\left(\dfrac{21\pi}{13}\right)=-\ctg\left(2\pi-\dfrac{21\pi}{13}\right)=-\ctg\dfrac{5\pi}{13};$$
$$\tg\left(-\dfrac{14\pi}{3}\right)=\tg\left(5\pi-\dfrac{14\pi}{3}\right)=\tg\dfrac{\pi}{3};$$
$$\cos\left(\dfrac{8\pi}{3}\right)=-\cos\left(3\pi-\dfrac{8\pi}{3}\right)=-\cos\dfrac{\pi}{3}.$$
3) Упростим выражения:
а)
$$\sin\dfrac{7\pi}{8}+\cos\dfrac{5\pi}{8}+\tg\dfrac{7\pi}{4} = \sin\left(\pi-\dfrac{\pi}{8}\right)+\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{8}\right)+\tg\left(2\pi-\dfrac{\pi}{4}\right)$$
$$=\sin\dfrac{\pi}{8}-\sin\dfrac{\pi}{8}-\tg\dfrac{\pi}{4}=0-1=-1.$$
б)
$$\dfrac{\sin(\pi-\alpha)\cos(\pi+\alpha)\tg(-\alpha)}{\sin\left(\alpha-\dfrac{3\pi}{2}\right)\ctg\left(\dfrac{3\pi}{2}+\alpha\right)\cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}{2}\right)} = \dfrac{\sin\alpha\cdot(-\cos\alpha)\cdot(-\tg\alpha)}{\cos\alpha\cdot(-\tg\alpha)\cdot(-\sin\alpha)} = \dfrac{\tg\alpha}{\tg\alpha}=1.$$
в)
$$\ctg\dfrac{9\pi}{4}+\sin\dfrac{37\pi}{12}-\cos\dfrac{7\pi}{12} = \ctg\left(2\pi+\dfrac{\pi}{4}\right)+\sin\left(3\pi+\dfrac{\pi}{12}\right)-\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{12}\right)$$
$$=\ctg\dfrac{\pi}{4}+(-\sin\dfrac{\pi}{12})-(-\sin\dfrac{\pi}{12}) =\ctg\dfrac{\pi}{4}=1.$$
г)
$$\dfrac{\sin(\alpha-\pi)\tg\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)}{\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}+\alpha\right)\ctg(\alpha-\pi)} = \dfrac{-\sin\alpha\cdot(-\ctg\alpha)}{\sin\alpha\cdot\ctg\alpha}=1.$$
Ответ
1) Перед приведённой функцией ставится знак исходной функции; при нечётном $$n$$ функция меняется на кофункцию, при чётном — не меняется.
2) а) $$\sin\dfrac{3\pi}{8}$$; б) $$-\ctg\dfrac{5\pi}{13}$$; в) $$\tg\dfrac{\pi}{3}$$; г) $$-\cos\dfrac{\pi}{3}$$.
3) а) $$-1$$; б) $$1$$; в) $$1$$; г) $$1$$.
