Упр.6 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. а) В десятичной записи числа 300 единиц и несколько нулей (а других цифр нет). Может ли это число быть точным квадратом?
   б) $$2008$$-значное число $$a$$ делится на $$9$$. Сумма цифр $$a$$ — число $$b$$, сумма цифр $$b$$ — число $$c$$, сумма цифр $$c$$ — число $$d$$. Найдите $$d$$.

а) Если число состоит из $$300$$ единиц и нескольких нулей, то сумма его цифр равна $$300$$. Для точного квадрата сумма цифр не обязана быть кратной $$9$$, но число должно иметь вид, допускающий квадрат. Проверим по признаку делимости на $$3$$: сумма цифр равна $$300$$, значит число делится на $$3$$, но не на $$9$$, так как $$300 \equiv 3 \pmod 9.$$ Квадрат числа, делящегося на $$3$$, делится на $$9$$. Здесь же число не делится на $$9$$, значит точным квадратом быть не может.

б) Пусть сумма цифр числа $$a$$ равна $$b$$, сумма цифр числа $$b$$ равна $$c$$, сумма цифр числа $$c$$ равна $$d$$.

Так как число $$a$$ делится на $$9$$, то и сумма его цифр $$b$$ делится на $$9$$. При этом для $$2008$$-значного числа имеем $$b \le 2008 \cdot 9 = 18072.$$

Сумма цифр числа $$b$$ равна $$c$$, значит $$c \le 5 \cdot 9 = 45,$$ и число $$c$$ тоже делится на $$9$$.

Далее, сумма цифр числа $$c$$ равна $$d$$, поэтому $$d \le 2 \cdot 9 = 18,$$ и $$d$$ также делится на $$9$$.

Единственное возможное значение: $$d=9.$$

Ответ: а) нет; б) $$9$$.