Упр.59 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Существует ли периодическая функция, у которой: а) все рациональные числа являются периодами, а все иррациональные нет; б) все иррациональные числа являются периодами, а все рациональные нет?

Рассмотрим функцию

$$f(x)= \begin{cases} 1, & \text{если } x \text{ рационально},\\ 0, & \text{если } x \text{ иррационально}. \end{cases}$$

а)

Пусть $$T$$ — рациональное число. Тогда при любом $$x$$ число $$x+T$$ рационально тогда и только тогда, когда рационально $$x$$. Значит,

$$f(x+T)=f(x).$$

Если же $$T$$ иррационально, то рациональное число переходит в иррациональное, а иррациональное — в рациональное. Поэтому для любого $$x$$

$$f(x+T)\ne f(x).$$

Следовательно, все рациональные числа являются периодами, а все иррациональные — нет.

б)

Предположим, что существует функция, у которой все иррациональные числа — периоды, а рациональные — нет. Возьмём два иррациональных периода, например

$$T_1=\sqrt{2}, \qquad T_2=1-\sqrt{2}.$$

Тогда их сумма тоже должна быть периодом:

$$T_1+T_2=1.$$

Но число $$1$$ рационально, значит, оно тоже является периодом. Это противоречит условию.

Следовательно, такой функции не существует.

Ответ

а) да; б) нет.