Упр.58 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Вычислите:
   а) $$\cos^4 x+\sin^4 x$$, если $$\sin 2x=\frac{2}{3}$$;
   б) $$\frac{1-2\sin^2\frac{x}{2}}{1+\sin x}$$, если $$\tg\frac{x}{2}=m$$;
   в) $$\cos x$$, если $$\sin x\cdot\tg x=\frac{1}{2}$$;
   г) $$\sin x,\ \cos 2x,\ \cos\frac{x}{2}$$, если $$\tg\frac{x}{2}=-\sqrt{2},\quad \pi

а) $$\cos^4\alpha+\sin^4\alpha=(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)^2-2\sin^2\alpha\cos^2\alpha.$$

Так как $$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{2}{3},$$ то

$$\sin^2\alpha\cos^2\alpha=\frac{1}{4}\sin^2 2\alpha=\frac{1}{4}\cdot\frac{4}{9}=\frac{1}{9}.$$

Тогда

$$\cos^4\alpha+\sin^4\alpha=1-2\cdot\frac{1}{9}=\frac{7}{9}.$$

б) $$S=\frac{1-2\sin^2\frac{\alpha}{2}}{1+\sin\alpha}.$$

Используем формулу $$1-2\sin^2\frac{\alpha}{2}=\cos\alpha,$$ тогда

$$S=\frac{\cos\alpha}{1+\sin\alpha}.$$

Умножим числитель и знаменатель на $$1-\sin\alpha$$:

$$S=\frac{\cos\alpha(1-\sin\alpha)}{1-\sin^2\alpha}=\frac{\cos\alpha(1-\sin\alpha)}{\cos^2\alpha}=\frac{1-\sin\alpha}{\cos\alpha}.$$

Переходим к половинному углу:

$$\frac{1-\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\left(\cos\frac{\alpha}{2}-\sin\frac{\alpha}{2}\right)^2}{\left(\cos\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\alpha}{2}\right)\left(\cos\frac{\alpha}{2}-\sin\frac{\alpha}{2}\right)}=\frac{\cos\frac{\alpha}{2}-\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\alpha}{2}}.$$

Так как $$\tg\frac{\alpha}{2}=m,$$ то

$$S=\frac{1-m}{1+m}.$$

в) $$\sin\alpha\cdot\tg\alpha=\frac{1}{2}.$$

Так как $$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},$$ получаем

$$\frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha}=\frac{1}{2}.$$

Подставим $$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha$$:

$$\frac{1-\cos^2\alpha}{\cos\alpha}=\frac{1}{2}.$$

Отсюда

$$2-2\cos^2\alpha=\cos\alpha,$$

$$2\cos^2\alpha+\cos\alpha-2=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=1+16=17,$$

$$\cos\alpha=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{4}.$$

Подходит значение

$$\cos\alpha=\frac{\sqrt{17}-1}{4}.$$

г) $$\tg\frac{\alpha}{2}=-\sqrt{2}, \qquad \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}.$$

Найдём $$\cos\frac{\alpha}{2}$$:

$$\cos\frac{\alpha}{2}=-\sqrt{\frac{1}{1+\tg^2\frac{\alpha}{2}}}=-\sqrt{\frac{1}{1+2}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Тогда

$$\sin\frac{\alpha}{2}=\tg\frac{\alpha}{2}\cdot\cos\frac{\alpha}{2}=-\sqrt{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=\frac{\sqrt{6}}{3}.$$

Теперь

$$\sin\alpha=2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}=2\cdot\frac{\sqrt{6}}{3}\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=-\frac{2\sqrt{2}}{3},$$

$$\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha=1-2\cdot\frac{8}{9}=-\frac{7}{9}.$$

Ответ

а) $$\frac{7}{9}$$; б) $$\frac{1-m}{1+m}$$; в) $$\frac{\sqrt{17}-1}{4}$$; г) $$\sin\alpha=-\frac{2\sqrt{2}}{3},\ \cos 2\alpha=-\frac{7}{9},\ \cos\frac{\alpha}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{3}.$$