Упр.58 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Докажите, что сумма двух непрерывных периодических функций, определённых на всей числовой прямой и не имеющих общих периодов, не является периодической.

Подробный ответ

Пусть сумма $$f(x)+g(x)$$ периодична и имеет период $$T$$. Тогда для всех $$x$$ выполняется

$$f(x+T)+g(x+T)=f(x)+g(x).$$

Перенесём слагаемые:

$$f(x+T)-f(x)=g(x)-g(x+T).$$

Левая часть зависит только от функции $$f$$, правая — только от функции $$g$$. Так как функции непрерывны и периодичны на всей числовой прямой, то обе части должны быть постоянными. Обозначим это постоянное значение через $$a$$:

$$f(x+T)=f(x)+a,\qquad g(x+T)=g(x)-a.$$

Теперь повторим сдвиг на $$T$$ несколько раз:

$$f(x+nT)=f(x)+na,\qquad g(x+nT)=g(x)-na.$$

Если $$a\ne 0$$, то при больших $$n$$ значения функций $$f$$ и $$g$$ становятся неограниченными, что невозможно для периодических функций. Значит, $$a=0$$.

Тогда

$$f(x+T)=f(x),\qquad g(x+T)=g(x),$$

то есть $$T$$ является общим периодом функций $$f$$ и $$g$$. Это противоречит условию, что общих периодов у них нет.

Следовательно, сумма двух непрерывных периодических функций, определённых на всей числовой прямой и не имеющих общих периодов, не является периодической.