Упр.58 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Проверим чётность каждой функции, вычисляя $$f(-x)$$ и сравнивая с $$f(x)$$. При этом область определения должна быть симметрична относительно нуля.

1. $$f(x)=\frac{\cos 5x+1}{|x|}$$

   Область определения: $$x\ne 0$$, то есть $$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$ — симметрична.

   Найдём:

   $$f(-x)=\frac{\cos(-5x)+1}{|-x|}=\frac{\cos 5x+1}{|x|}=f(x).$$

   Значит, функция чётная.

2. $$f(x)=\frac{\sin^2 x}{x^2-1}$$

   Область определения: $$x^2-1\ne 0$$, то есть $$x\ne \pm 1$$. Следовательно, $$D(f)=(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)$$ — симметрична.

   Найдём:

   $$f(-x)=\frac{\sin^2(-x)}{(-x)^2-1}=\frac{\sin^2 x}{x^2-1}=f(x).$$

   Значит, функция чётная.

3. $$f(x)=\frac{2\sin \frac{x}{2}}{x^3}$$

   Область определения: $$x^3\ne 0$$, то есть $$x\ne 0$$. Тогда $$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$ — симметрична.

   Найдём:

   $$f(-x)=\frac{2\sin \frac{-x}{2}}{(-x)^3}=\frac{2\cdot(-\sin \frac{x}{2})}{-x^3}=\frac{2\sin \frac{x}{2}}{x^3}=f(x).$$

   Значит, функция чётная.

4. $$f(x)=\frac{\cos x^3}{4-x^2}$$

   Область определения: $$4-x^2\ne 0$$, то есть $$x\ne \pm 2$$. Следовательно, $$D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty)$$ — симметрична.

   Найдём:

   $$f(-x)=\frac{\cos(-x)^3}{4-(-x)^2}=\frac{\cos x^3}{4-x^2}=f(x).$$

   Значит, функция чётная.

Ответ: все данные функции чётные.