Упр.579 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Обозначим температуры тел через $$T_1(t)$$ и $$T_2(t)$$. По закону охлаждения Ньютона

$$T(t)=T_0e^{-kt}.$$

Так как начальная температура обоих тел одинакова и равна $$100^\circ,$$ а через $$10$$ минут температуры стали $$80^\circ$$ и $$64^\circ,$$ то

$$T_1(t)=100e^{-k_1t}, \qquad T_2(t)=100e^{-k_2t}.$$

Из условий при $$t=10$$ получаем:

$$100e^{-10k_1}=80, \qquad 100e^{-10k_2}=64.$$

Отсюда

$$e^{-10k_1}=0{,}8, \qquad e^{-10k_2}=0{,}64.$$

Значит,

$$T_1(t)=100\cdot 0{,}8^{t/10}, \qquad T_2(t)=100\cdot 0{,}64^{t/10}.$$

По условию нужно найти момент, когда разность температур равна $$25^\circ$$:

$$100\cdot 0{,}8^{t/10}-100\cdot 0{,}64^{t/10}=25.$$

Разделим на $$100$$:

$$0{,}8^{t/10}-0{,}64^{t/10}=0{,}25.$$

Заметим, что $$0{,}64=0{,}8^2,$$ поэтому

$$0{,}8^{t/10}-0{,}8^{2t/10}=0{,}25.$$

Обозначим $$x=0{,}8^{t/10}.$$ Тогда

$$x-x^2=0{,}25,$$

$$x^2-x+0{,}25=0,$$

$$\left(x-0{,}5\right)^2=0,$$

откуда $$x=0{,}5.$$ Следовательно,

$$0{,}8^{t/10}=0{,}5,$$

$$\frac{t}{10}=\log_{0{,}8}0{,}5,$$

$$t=10\cdot \frac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}8}\approx 31{,}08.$$

Ответ: $$31{,}08$$ мин.