Упр.578 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

По закону охлаждения

$$T(t)=T_0e^{-kt},$$

где $$T_0$$ — начальная температура тела, $$k>0$$.

Для первого тела:

$$100=200e^{-10k_1},$$

откуда

$$e^{-10k_1}=\frac12,\qquad k_1=\frac{\ln 2}{10}.$$

Для второго тела:

$$80=100e^{-10k_2},$$

откуда

$$e^{-10k_2}=\frac45,\qquad k_2=\frac{1}{10}\ln\frac54.$$

Через время $$t$$ температуры сравняются:

$$200e^{-k_1t}=100e^{-k_2t}.$$

Подставим найденные значения $$k_1$$ и $$k_2$$:

$$200e^{-\frac{\ln 2}{10}t}=100e^{-\frac{\ln(5/4)}{10}t}.$$

Разделим на $$100$$ и прологарифмируем:

$$2e^{-\frac{\ln 2}{10}t}=e^{-\frac{\ln(5/4)}{10}t},$$

$$\ln 2=\frac{t}{10}\left(\ln 2-\ln\frac54\right).$$

Тогда

$$t=\frac{10\ln 2}{\ln 2-\ln\frac54}=\frac{10\ln 2}{\ln\frac85}.$$

Вычислим приближённо:

$$t\approx \frac{10\cdot 0.693}{0.470}\approx 14.75.$$

Ответ: через $$14{,}75$$ мин.