Упр.577 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Пусть количество радиоактивного вещества изменяется по закону

$$m(t)=m_0e^{-kt},$$

где $$T=\frac{\ln 2}{k}$$ — период полураспада.

Тогда

$$k=\frac{\ln 2}{T}.$$

1) Через сколько часов количество уменьшится в 10 раз?

По условию $$T=1$$ ч, а значит

$$k=\ln 2.$$

Нужно найти время $$t$$, при котором

$$\frac{m(t)}{m_0}=\frac{1}{10}.$$

Тогда

$$\frac{1}{10}=e^{-kt}=e^{-t\ln 2}.$$

Берём логарифм:

$$t=\frac{\ln 10}{\ln 2}\approx 3{,}3.$$

2) Какая доля радия останется через 1000 лет?

Теперь $$T=1550$$ лет, поэтому

$$\frac{m(1000)}{m_0}=e^{-\frac{\ln 2}{1550}\cdot 1000}=2^{-1000/1550}.$$

Вычислим приближённо:

$$\frac{m(1000)}{m_0}\approx 0{,}64.$$

Ответ: через $$\frac{\ln 10}{\ln 2}\approx 3{,}3$$ ч; через 1000 лет останется примерно $$0{,}64$$ первоначального количества радия.