Упр.575 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Радиоактивный распад описывается формулой

$$m(t)=m_0e^{-kt},$$

где $$m_0$$ — начальная масса вещества, $$k=\dfrac{\ln 2}{T}$$, а $$T$$ — период полураспада.

По условию через $$t$$ минут осталось $$n$$ миллиграммов, значит

$$n=me^{-kt}.$$

Прологарифмируем обе части:

$$\ln n=\ln\left(me^{-kt}\right)$$

$$\ln n=\ln m+\ln e^{-kt}$$

$$\ln n=\ln m-kt.$$

Тогда

$$kt=\ln m-\ln n=\ln\frac{m}{n}.$$

Подставим $$k=\dfrac{\ln 2}{T}$$:

$$\frac{\ln 2}{T}\,t=\ln\frac{m}{n}.$$

Отсюда

$$T=\frac{t\ln 2}{\ln m-\ln n}=\frac{t\ln 2}{\ln\frac{m}{n}}.$$

Ответ

$$T=\frac{t\ln 2}{\ln\frac{m}{n}}.$$