Упр.574 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Пусть $$x(t)=x_1(t)+x_2(t)=A_1\cos(\omega_1 t+\varphi_1)+A_2\cos(\omega_2 t+\varphi_2).$$

Если сумма периодична с наименьшим положительным периодом $$T,$$ то

$$x(t+T)=A_1\cos(\omega_1 t+\omega_1 T+\varphi_1)+A_2\cos(\omega_2 t+\omega_2 T+\varphi_2)=x(t).$$

Это возможно тогда и только тогда, когда для каждого слагаемого

$$\omega_1T=2\pi k,\qquad \omega_2T=2\pi n,$$

где $$k,n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$\frac{\omega_1}{\omega_2}=\frac{k}{n},$$

то есть отношение частот должно быть рациональным числом.

Обратно, если $$\dfrac{\omega_1}{\omega_2}=r\in\mathbb Q,$$ то можно выбрать такие целые $$k$$ и $$n,$$ что $$\omega_1T=2\pi k$$ и $$\omega_2T=2\pi n$$ для некоторого общего периода $$T,$$ значит сумма функций периодична.

Ответ: сумма двух гармонических колебаний будет периодической тогда и только тогда, когда $$\dfrac{\omega_1}{\omega_2}$$ — рациональное число.