Упр.57 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) Пусть $$t=\tg x$$, тогда при $$0<x<\frac{\pi}{2}$$ имеем $$t>0$$ и $$\ctg x=\frac{1}{t}$$. Тогда

$$\tg x+\ctg x=t+\frac{1}{t}\ge 2,$$

так как для любого $$t>0$$ верно неравенство $$t+\frac{1}{t}\ge 2$$.

б) Преобразуем выражение:

$$\frac{\sin\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\alpha}{4}\right)\sin\left(\frac{5\pi}{12}-\frac{\alpha}{4}\right)}+2\sin\frac{\alpha}{2}.$$

Используем формулу

$$\sin A\sin B=\frac{1}{2}\bigl(\cos(A-B)-\cos(A+B)\bigr),$$

или, как в приведённом решении, заменим

$$\sin\left(\frac{5\pi}{12}-\frac{\alpha}{4}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{5\pi}{12}+\frac{\alpha}{4}\right) =\cos\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\alpha}{4}\right).$$

Тогда

$$\frac{\sin\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\alpha}{4}\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\alpha}{4}\right)}+2\sin\frac{\alpha}{2}.$$

Так как $$2\sin u\cos u=\sin 2u$$, получаем

$$\frac{2\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\alpha}{2}\right)}{\frac12\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\alpha}{2}\right)}+2\sin\frac{\alpha}{2}.$$

После упрощения:

$$4\left(\cos\frac{\pi}{6}\cos\frac{\alpha}{2}-\sin\frac{\pi}{6}\sin\frac{\alpha}{2}\right)+2\sin\frac{\alpha}{2}$$

$$=2\sqrt{3}\cos\frac{\alpha}{2}-2\sin\frac{\alpha}{2}+2\sin\frac{\alpha}{2} =2\sqrt{3}\cos\frac{\alpha}{2}\le 2\sqrt{3}.$$

Значит, неравенство доказано.

в) Преобразуем произведение:

$$(1+\sin\varphi+\cos\varphi)(1-\sin\varphi+\cos\varphi)(1+\sin\varphi-\cos\varphi)(\sin\varphi+\cos\varphi-1).$$

Сгруппируем множители:

$$\bigl((1+\cos\varphi)^2-\sin^2\varphi\bigr)\bigl(\sin^2\varphi-(\cos\varphi-1)^2\bigr).$$

Тогда

$$(1+2\cos\varphi+\cos^2\varphi-\sin^2\varphi)(\sin^2\varphi-\cos^2\varphi+2\cos\varphi-1)$$

$$=(2\cos\varphi+2\cos^2\varphi)(2\cos\varphi-2\cos^2\varphi) =4\cos^2\varphi(1-\cos^2\varphi).$$

Так как $$1-\cos^2\varphi=\sin^2\varphi$$, получаем

$$4\cos^2\varphi\sin^2\varphi=(2\sin\varphi\cos\varphi)^2=\sin^2 2\varphi\le 1.$$

Следовательно, неравенство верно.

г) Используем формулу

$$2\sin A\sin B=\cos(A-B)-\cos(A+B).$$

Тогда

$$2\sin 4\alpha\sin 2\alpha+\cos 6\alpha =\cos 2\alpha-\cos 6\alpha+\cos 6\alpha =\cos 2\alpha.$$

Так как $$|\cos 2\alpha|\le 1$$, то

$$\cos 2\alpha\ge -1.$$

Значит,

$$2\sin 4\alpha\sin 2\alpha+\cos 6\alpha\ge -1.$$

Ответ: все неравенства доказаны.