Упр.57 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Функции $$f$$ и $$g$$ периодические с общим периодом $$T$$. Докажите, что функции $$y=f(x)+g(x)$$ и $$y=f(x)g(x)$$ являются периодическими с периодом $$T$$.

Так как функции $$f$$ и $$g$$ периодические с общим периодом $$T$$, то для любого $$x$$ выполняется:

$$f(x+T)=f(x), \qquad g(x+T)=g(x).$$

Рассмотрим сумму $$h(x)=f(x)+g(x)$$. Тогда

$$h(x+T)=f(x+T)+g(x+T)=f(x)+g(x)=h(x).$$

Значит, функция $$h(x)$$ периодическая с периодом $$T$$.

Теперь рассмотрим произведение $$l(x)=f(x)g(x)$$. Имеем

$$l(x+T)=f(x+T)\,g(x+T)=f(x)\,g(x)=l(x).$$

Следовательно, функция $$l(x)$$ также периодическая с периодом $$T$$.

Ответ

$$f(x)+g(x)$$ и $$f(x)g(x)$$ являются периодическими функциями с периодом $$T$$.