Упр.568 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$y(t)=3\cos(2t+\pi)$$

Найдём производные:

$$y’=-3\sin(2t+\pi)\cdot 2=-6\sin(2t+\pi),$$

$$y»=-6\cos(2t+\pi)\cdot 2=-12\cos(2t+\pi).$$

Тогда

$$-4y=-4\cdot 3\cos(2t+\pi)=-12\cos(2t+\pi).$$

Следовательно, $$y»=-4y.$$

б) $$y(t)=4\sin\left(\frac12 t-\frac{\pi}{3}\right)$$

Найдём производные:

$$y’=4\cos\left(\frac12 t-\frac{\pi}{3}\right)\cdot \frac12=2\cos\left(\frac12 t-\frac{\pi}{3}\right),$$

$$y»=2\left(-\sin\left(\frac12 t-\frac{\pi}{3}\right)\right)\cdot \frac12=-\sin\left(\frac12 t-\frac{\pi}{3}\right).$$

Тогда

$$-\frac14 y=-\frac14\cdot 4\sin\left(\frac12 t-\frac{\pi}{3}\right)=-\sin\left(\frac12 t-\frac{\pi}{3}\right).$$

Следовательно, $$y»=-\frac14 y.$$

в) $$y(t)=2\cos 4t$$

Найдём производные:

$$y’=-2\sin 4t\cdot 4=-8\sin 4t,$$

$$y»=-8\cos 4t\cdot 4=-32\cos 4t.$$

Тогда

$$y»+16y=-32\cos 4t+16\cdot 2\cos 4t=-32\cos 4t+32\cos 4t=0.$$

Следовательно, $$y»+16y=0.$$

г) $$y(t)=\frac13\sin(0{,}1t+1)$$

Найдём производные:

$$y’=\frac13\cos(0{,}1t+1)\cdot 0{,}1=\frac1{30}\cos(0{,}1t+1),$$

$$y»=\frac1{30}\left(-\sin(0{,}1t+1)\right)\cdot 0{,}1=-\frac1{300}\sin(0{,}1t+1).$$

Тогда

$$0{,}01y=0{,}01\cdot \frac13\sin(0{,}1t+1)=\frac1{300}\sin(0{,}1t+1).$$

Следовательно,

$$y»+0{,}01y=-\frac1{300}\sin(0{,}1t+1)+\frac1{300}\sin(0{,}1t+1)=0.$$

Значит, $$y»+0{,}01y=0.$$

Ответ: во всех пунктах данная функция является решением соответствующего дифференциального уравнения.