Упр.565 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$S=\int_0^1 x^{\sqrt2}\,dx=\left.\frac{x^{\sqrt2+1}}{\sqrt2+1}\right|_0^1=\frac{1}{\sqrt2+1}.$$

б) Точки пересечения графиков $$y=x^{\sqrt3}$$ и $$y=\frac1x$$ найдём из уравнения

$$x^{\sqrt3}=\frac1x \;\Rightarrow\; x^{\sqrt3+1}=1 \;\Rightarrow\; x=1.$$

Тогда

$$S=\int_{1/2}^{1}\left(\frac1x-x^{\sqrt3}\right)\,dx =\left.\left(\ln x-\frac{x^{\sqrt3+1}}{\sqrt3+1}\right)\right|_{1/2}^{1}.$$

Подставим пределы:

$$S=\left(0-\frac1{\sqrt3+1}\right)-\left(-\ln 2-\frac{(1/2)^{\sqrt3+1}}{\sqrt3+1}\right) =\ln 2+\frac{(1/2)^{\sqrt3+1}-1}{\sqrt3+1}.$$

в) $$S=\int_1^{32} x^{-0{,}8}\,dx=\left.\frac{x^{0{,}2}}{0{,}2}\right|_1^{32} =\frac{32^{0{,}2}-1}{0{,}2}.$$

Так как $$32=2^5,$$ то

$$32^{0{,}2}=(2^5)^{1/5}=2,$$

следовательно,

$$S=\frac{2-1}{0{,}2}=5.$$

г) $$S=\int_3^5 \frac1x\,dx=\left.\ln x\right|_3^5=\ln 5-\ln 3=\ln\frac53.$$

Ответ: а) $$\frac{1}{\sqrt2+1}$$; б) $$\ln 2+\frac{(1/2)^{\sqrt3+1}-1}{\sqrt3+1}$$; в) $$5$$; г) $$\ln\frac53$$.