Упр.562 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$f(x)=x^{\frac25}, \quad I=[1;32].$$

$$f'(x)=\frac25x^{-\frac35}.$$

При $$x>0$$ имеем $$f'(x)>0$$, значит функция возрастает на своей области определения.

Следовательно, на отрезке $$[1;32]$$:

$$f_{\min}=f(1)=1^{\frac25}=1,$$

$$f_{\max}=f(32)=32^{\frac25}=(2^5)^{\frac25}=2^2=4.$$

б) $$f(x)=x^{-\frac43}, \quad I=\left[\frac18;27\right].$$

$$f'(x)=-\frac43x^{-\frac73}.$$

При $$x>0$$ имеем $$f'(x)<0$$, значит функция убывает.

Следовательно, на отрезке $$\left[\frac18;27\right]$$:

$$f_{\max}=f\left(\frac18\right)=\left(\frac18\right)^{-\frac43}=(2^{-3})^{-\frac43}=2^4=16,$$

$$f_{\min}=f(27)=27^{-\frac43}=(3^3)^{-\frac43}=3^{-4}=\frac1{81}.$$

в) $$f(x)=x^{-4}, \quad I=\left[\frac12;1\right].$$

$$f'(x)=-4x^{-5}.$$

При $$x>0$$ имеем $$f'(x)<0$$, значит функция убывает.

Следовательно, на отрезке $$\left[\frac12;1\right]$$:

$$f_{\max}=f\left(\frac12\right)=\left(\frac12\right)^{-4}=2^4=16,$$

$$f_{\min}=f(1)=1^{-4}=1.$$

г) $$f(x)=x^{\frac34}, \quad I=\left[\frac1{16};81\right].$$

$$f'(x)=\frac34x^{-\frac14}.$$

При $$x>0$$ имеем $$f'(x)>0$$, значит функция возрастает.

Следовательно, на отрезке $$\left[\frac1{16};81\right]$$:

$$f_{\min}=f\left(\frac1{16}\right)=\left(\frac1{16}\right)^{\frac34}=(2^{-4})^{\frac34}=2^{-3}=\frac18,$$

$$f_{\max}=f(81)=81^{\frac34}=(3^4)^{\frac34}=3^3=27.$$

Ответ

а) $$f_{\min}=1,\ f_{\max}=4$$; б) $$f_{\min}=\frac1{81},\ f_{\max}=16$$; в) $$f_{\min}=1,\ f_{\max}=16$$; г) $$f_{\min}=\frac18,\ f_{\max}=27$$.