Упр.560 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Воспользуемся формулой приближённого вычисления корня:

$$\sqrt[n]{a^n+b}\approx a\left(1+\frac{b}{n a^n}\right),$$

если $$b$$ мало по сравнению с $$a^n$$.

Ход решения

1. $$\sqrt[3]{24}=\sqrt[3]{27-3}=\sqrt[3]{27\left(1-\frac{1}{9}\right)}=3\sqrt[3]{1-\frac{1}{9}}.$$

   Так как $$\frac{1}{9}$$ мало, то

   $$\sqrt[3]{1-\frac{1}{9}}\approx 1-\frac{1}{3\cdot 9}=1-\frac{1}{27}.$$

   Следовательно,

   $$\sqrt[3]{24}\approx 3\left(1-\frac{1}{27}\right)=3\cdot \frac{26}{27}=\frac{26}{9}=2\frac{8}{9}.$$

2. $$\sqrt[4]{625\cdot 3}=\sqrt[4]{625\cdot 16\cdot \frac{3}{16}}=\sqrt[4]{625\cdot 16}\cdot \sqrt[4]{\frac{3}{16}}.$$

   Так как $$625=5^4$$ и $$16=2^4$$, то

   $$\sqrt[4]{625\cdot 16}=5\cdot 2=10.$$

   Далее

   $$\sqrt[4]{\frac{3}{16}}=\sqrt[4]{1-\frac{13}{16}}\approx 1-\frac{13}{16\cdot 4}=1-\frac{13}{64}=\frac{51}{64}.$$

   Тогда

   $$\sqrt[4]{625\cdot 3}\approx 10\cdot \frac{51}{64}=\frac{255}{32}=7\frac{31}{32}.$$

3. $$\sqrt[3]{81}=\sqrt[3]{3^3\cdot 3}=3\sqrt[3]{3}.$$

   Представим $$3$$ в виде $$1{,}4^3+0{,}25$$:

   $$\sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{1{,}4^3+0{,}25}\approx 1{,}4\left(1+\frac{0{,}25}{3\cdot 1{,}4^3}\right).$$

   Так как $$1{,}4^3=2{,}744$$, получаем

   $$\sqrt[3]{3}\approx 1{,}4\left(1+\frac{0{,}25}{3\cdot 2{,}744}\right)\approx 1{,}4\cdot 1{,}03=1{,}433.$$

   Тогда

   $$\sqrt[3]{81}\approx 3\cdot 1{,}433\approx 4{,}33.$$

4. $$\sqrt[4]{48}=\sqrt[4]{2^4\cdot 3}=2\sqrt[4]{3}.$$

   Представим $$3$$ как $$1{,}3^4+0{,}14$$:

   $$\sqrt[4]{3}=\sqrt[4]{1{,}3^4+0{,}14}\approx 1{,}3\left(1+\frac{0{,}14}{4\cdot 1{,}3^4}\right).$$

   Так как $$1{,}3^4=2{,}8561$$, то

   $$\sqrt[4]{3}\approx 1{,}3\left(1+\frac{0{,}14}{4\cdot 2{,}8561}\right)\approx 1{,}3\cdot 1{,}01=1{,}315.$$

   Следовательно,

   $$\sqrt[4]{48}\approx 2\cdot 1{,}315=2{,}63.$$

Ответ

$$\sqrt[3]{24}\approx 2\frac{8}{9},\qquad \sqrt[4]{625\cdot 3}\approx 7\frac{31}{32},\qquad \sqrt[3]{81}\approx 4{,}33,\qquad \sqrt[4]{48}\approx 2{,}63.$$