Упр.56 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) Докажите, что для любой функции $$f$$ с симметричной относительно точки $$0$$ областью определения функция $$y=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$$ четная, а функция $$y=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$$ нечетная.
б) Докажите, что любая функция с симметричной относительно точки $$0$$ областью определения представляется (притом единственным образом) в виде суммы четной и нечетной функций.
в) Найдите все функции, являющиеся одновременно четными и нечетными.

Подробный ответ

Пусть область определения функции $$f$$ симметрична относительно точки $$0$$, то есть вместе с каждым $$x$$ из области определения в ней содержится и $$-x$$.

Ход решения

Рассмотрим функцию
$$y=\frac{f(x)+f(-x)}{2}.$$
Тогда
$$y(-x)=\frac{f(-x)+f(x)}{2}=\frac{f(x)+f(-x)}{2}=y(x).$$
Значит, эта функция чётная.
Теперь рассмотрим функцию
$$y=\frac{f(x)-f(-x)}{2}.$$
Тогда
$$y(-x)=\frac{f(-x)-f(x)}{2}=-\frac{f(x)-f(-x)}{2}=-y(x).$$
Следовательно, эта функция нечётная.
Покажем, что любую функцию с симметричной областью определения можно представить в виде суммы чётной и нечётной функций:
$$f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}.$$
Обозначим
$$g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}, \qquad h(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}.$$
Тогда $$g(x)$$ — чётная функция, $$h(x)$$ — нечётная, и
$$f(x)=g(x)+h(x).$$
Докажем единственность. Пусть
$$f(x)=g_1(x)+h_1(x)=g_2(x)+h_2(x),$$
где $$g_1, g_2$$ — чётные, а $$h_1, h_2$$ — нечётные функции. Тогда
$$g_1(x)-g_2(x)=h_2(x)-h_1(x).$$
Левая часть — чётная функция, правая — нечётная. Значит, обе они тождественно равны нулю:
$$g_1(x)-g_2(x)=0,\qquad h_2(x)-h_1(x)=0.$$
Отсюда
$$g_1(x)=g_2(x), \qquad h_1(x)=h_2(x).$$
Разложение единственно.
Пусть функция одновременно чётная и нечётная. Тогда для всех $$x$$ из области определения
$$f(-x)=f(x)$$
и
$$f(-x)=-f(x).$$
Следовательно,
$$f(x)=-f(x), \qquad 2f(x)=0, \qquad f(x)=0.$$
Значит, такими функциями являются только тождественно нулевая функция.