Упр.559 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Для функции вида $$f(x)=u(x)^\alpha$$ используем формулу

$$f'(x)=\alpha\,u(x)^{\alpha-1}\cdot u'(x).$$

а)

$$f(x)=x^{-e}, \qquad x>0.$$

Тогда

$$f'(x)=-e\,x^{-e-1}.$$

б)

$$f(x)=\left(\frac{x}{3}\right)^{-\lg 5}, \qquad x>0.$$

Пусть $$u(x)=\frac{x}{3}$$, тогда $$u'(x)=\frac13$$. Получаем

$$f'(x)=-\lg 5\left(\frac{x}{3}\right)^{-\lg 5-1}\cdot \frac13.$$

Итак,

$$f'(x)=-\frac{\lg 5}{3}\left(\frac{x}{3}\right)^{-\lg 5-1}.$$

в)

$$f(x)=x^\pi, \qquad x\ge 0.$$

Тогда

$$f'(x)=\pi x^{\pi-1}.$$

г)

$$f(x)=(2x)^{\ln 3}, \qquad x\ge 0.$$

Пусть $$u(x)=2x$$, тогда $$u'(x)=2$$. Следовательно,

$$f'(x)=\ln 3\,(2x)^{\ln 3-1}\cdot 2.$$

То есть

$$f'(x)=2\ln 3\,(2x)^{\ln 3-1}.$$

Ответ

$$f’_a(x)=-e\,x^{-e-1}, \qquad f’_б(x)=-\frac{\lg 5}{3}\left(\frac{x}{3}\right)^{-\lg 5-1}, \qquad f’_в(x)=\pi x^{\pi-1}, \qquad f’_г(x)=2\ln 3\,(2x)^{\ln 3-1}.$$