Упр.558 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Для степенной функции $$f(x)=x^a$$ производная находится по формуле $$f'(x)=ax^{a-1}.$$

а)

$$f(x)=x^{-\frac{3}{2}}.$$

Область определения: $$x>0,$$ то есть $$D(f)=(0;+\infty).$$

Найдём производную:

$$f'(x)=-\frac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}}.$$

б)

$$f(x)=x^{\sqrt{3}}.$$

Область определения: $$x\ge 0,$$ то есть $$D(f)=[0;+\infty).$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\sqrt{3}\,x^{\sqrt{3}-1}.$$

в)

$$f(x)=x^{\frac{2}{3}}.$$

Область определения: $$x\ge 0,$$ то есть $$D(f)=[0;+\infty).$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}.$$

г)

$$f(x)=x^{-\sqrt{5}}.$$

Область определения: $$x>0,$$ то есть $$D(f)=(0;+\infty).$$

Найдём производную:

$$f'(x)=-\sqrt{5}\,x^{-\sqrt{5}-1}.$$

Ответ:

$$\begin{aligned} &\text{а) } f'(x)=-\frac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}}, \quad D(f)=(0;+\infty);\\ &\text{б) } f'(x)=\sqrt{3}\,x^{\sqrt{3}-1}, \quad D(f)=[0;+\infty);\\ &\text{в) } f'(x)=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}, \quad D(f)=[0;+\infty);\\ &\text{г) } f'(x)=-\sqrt{5}\,x^{-\sqrt{5}-1}, \quad D(f)=(0;+\infty). \end{aligned}$$