Упр.556 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Исследуем каждую функцию с помощью производной.

а) $$f(x)=x(\ln x)^2$$

Область определения: $$x>0.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=(\ln x)^2+2\ln x=\ln x(\ln x+2).$$

Критические точки:

$$\ln x=0 \Rightarrow x=1,$$

$$\ln x+2=0 \Rightarrow x=e^{-2}=\frac1{e^2}.$$

Знак производной:

$$f'(x)>0 \text{ при } x\in\left(0,\frac1{e^2}\right)\cup(1,+\infty),$$

$$f'(x)<0 \text{ при } x\in\left(\frac1{e^2},1\right).$$

Следовательно, функция возрастает на $$\left(0,\frac1{e^2}\right)\cup(1,+\infty),$$ убывает на $$\left(\frac1{e^2},1\right).$$

В точке $$x=\frac1{e^2}$$ — максимум:

$$f\!\left(\frac1{e^2}\right)=\frac1{e^2}\left(\ln \frac1{e^2}\right)^2=\frac1{e^2}\cdot 4=\frac4{e^2}.$$

В точке $$x=1$$ — минимум:

$$f(1)=1\cdot(\ln 1)^2=0.$$

б) $$f(x)=\frac{2x}{\lg x}$$

Область определения: $$x>0,\quad x\ne 1.$$

Перепишем через натуральный логарифм:

$$\lg x=\frac{\ln x}{\ln 10}, \qquad f(x)=\frac{2x\ln 10}{\ln x}.$$

Тогда

$$f'(x)=2\ln 10\cdot \frac{\ln x-1}{(\ln x)^2}.$$

Так как $$2\ln 10>0$$ и $$(\ln x)^2>0,$$ знак производной определяется выражением $$\ln x-1.$$

Критическая точка:

$$\ln x-1=0 \Rightarrow x=e.$$

Значит, функция убывает на $$(0,1)\cup(1,e),$$ возрастает на $$(e,+\infty).$$

В точке $$x=e$$ — минимум:

$$f(e)=\frac{2e}{\lg e}=\frac{2e}{1/\ln 10}=2e\ln 10.$$

в) $$f(x)=\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$$

Область определения: $$x>0.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{(\ln x)’\sqrt{x}-\ln x(\sqrt{x})’}{(\sqrt{x})^2} =\frac{\frac1x\sqrt{x}-\ln x\cdot \frac1{2\sqrt{x}}}{x} =\frac{2-\ln x}{2x\sqrt{x}}.$$

Так как $$2x\sqrt{x}>0,$$ знак производной определяется числителем $$2-\ln x.$$

Критическая точка:

$$2-\ln x=0 \Rightarrow x=e^2.$$

Следовательно, функция возрастает на $$(0,e^2],$$ убывает на $$[e^2,+\infty).$$

В точке $$x=e^2$$ — максимум:

$$f(e^2)=\frac{\ln e^2}{\sqrt{e^2}}=\frac{2}{e}.$$

г) $$f(x)=\frac1x+\ln x$$

Область определения: $$x>0.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=-\frac1{x^2}+\frac1x=\frac{x-1}{x^2}.$$

Так как $$x^2>0,$$ знак производной определяется выражением $$x-1.$$

Критическая точка:

$$x-1=0 \Rightarrow x=1.$$

Значит, функция убывает на $$(0,1],$$ возрастает на $$[1,+\infty).$$

В точке $$x=1$$ — минимум:

$$f(1)=1+\ln 1=1.$$

Ответ

а) возрастает на $$\left(0,\frac1{e^2}\right)\cup(1,+\infty),$$ убывает на $$\left(\frac1{e^2},1\right);$$
максимум $$\frac4{e^2}$$ при $$x=\frac1{e^2},$$ минимум $$0$$ при $$x=1$$.
б) убывает на $$(0,1)\cup(1,e),$$ возрастает на $$(e,+\infty);$$ минимум $$2e\ln 10$$ при $$x=e$$.
в) возрастает на $$(0,e^2],$$ убывает на $$[e^2,+\infty);$$ максимум $$\frac2e$$ при $$x=e^2$$.
г) убывает на $$(0,1],$$ возрастает на $$[1,+\infty);$$ минимум $$1$$ при $$x=1$$.