Упр.555 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) $$f(x)=\sqrt{x}\ln x=x^{\frac12}\ln x.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\left(x^{\frac12}\ln x\right)’=\frac12x^{-\frac12}\ln x+x^{\frac12}\cdot\frac1x=\frac{\ln x+2}{2\sqrt{x}}.$$
Область определения: $$x>0.$$
Так как $$2\sqrt{x}>0,$$ знак производной определяется числителем $$\ln x+2.$$
Критическая точка:
$$\ln x+2=0,\qquad x=e^{-2}.$$
Следовательно, функция убывает на $$\left(0;e^{-2}\right]$$ и возрастает на $$\left[e^{-2};+\infty\right).$$
В точке $$x=e^{-2}$$ достигается минимум:
$$f_{\min}=f\left(e^{-2}\right)=\sqrt{e^{-2}}\ln e^{-2}=e^{-1}\cdot(-2)=-\frac{2}{e}.$$
б) $$f(x)=\frac{\ln x}{x}.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\left(\frac{\ln x}{x}\right)’=\frac{\frac1x\cdot x-\ln x}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}.$$
Область определения: $$x>0.$$
Так как $$x^2>0,$$ знак производной определяется числителем $$1-\ln x.$$
Критическая точка:
$$1-\ln x=0,\qquad x=e.$$
Следовательно, функция возрастает на $$\left(0;e\right]$$ и убывает на $$\left[e;+\infty\right).$$
В точке $$x=e$$ достигается максимум:
$$f_{\max}=f(e)=\frac{\ln e}{e}=\frac1e.$$
в) $$f(x)=2x-\ln x.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=(2x-\ln x)’=2-\frac1x=\frac{2x-1}{x}.$$
Область определения: $$x>0.$$
Так как $$x>0,$$ знак производной определяется числителем $$2x-1.$$
Критическая точка:
$$2x-1=0,\qquad x=\frac12.$$
Следовательно, функция убывает на $$\left(0;\frac12\right]$$ и возрастает на $$\left[\frac12;+\infty\right).$$
В точке $$x=\frac12$$ достигается минимум:
$$f_{\min}=f\left(\frac12\right)=2\cdot\frac12-\ln\frac12=1+\ln 2.$$
г) $$f(x)=x\ln x.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=(x\ln x)’=\ln x+x\cdot\frac1x=\ln x+1.$$
Область определения: $$x>0.$$
Критическая точка:
$$\ln x+1=0,\qquad x=\frac1e.$$
Следовательно, функция убывает на $$\left(0;\frac1e\right]$$ и возрастает на $$\left[\frac1e;+\infty\right).$$
В точке $$x=\frac1e$$ достигается минимум:
$$f_{\min}=f\left(\frac1e\right)=\frac1e\ln\frac1e=\frac1e\cdot(-1)=-\frac1e.$$
Ответ
а) убывает на $$\left(0;e^{-2}\right]$$, возрастает на $$\left[e^{-2};+\infty\right)$$; минимум $$-\frac{2}{e}$$ при $$x=e^{-2}$$.
б) возрастает на $$\left(0;e\right]$$, убывает на $$\left[e;+\infty\right)$$; максимум $$\frac1e$$ при $$x=e$$.
в) убывает на $$\left(0;\frac12\right]$$, возрастает на $$\left[\frac12;+\infty\right)$$; минимум $$1+\ln 2$$ при $$x=\frac12$$.
г) убывает на $$\left(0;\frac1e\right]$$, возрастает на $$\left[\frac1e;+\infty\right)$$; минимум $$-\frac1e$$ при $$x=\frac1e$$.
