Упр.554 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Для каждой функции используем правило производной частного:

$$\left(\frac{u}{v}\right)’=\frac{u’v-uv’}{v^2}.$$

а)

$$y=\frac{\ln(5+3x)}{x^2+1}.$$

Тогда

$$u=\ln(5+3x), \quad u’=\frac{3}{5+3x}, \quad v=x^2+1, \quad v’=2x.$$

Следовательно,

$$y’=\frac{\frac{3}{5+3x}(x^2+1)-\ln(5+3x)\cdot 2x}{(x^2+1)^2} =\frac{3(x^2+1)-2x(5+3x)\ln(5+3x)}{(5+3x)(x^2+1)^2}.$$

б)

$$y=\frac{\sqrt{x}}{\lg(1-2x)}.$$

Здесь

$$u=\sqrt{x}, \quad u’=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad v=\lg(1-2x), \quad v’=\frac{-2}{(1-2x)\ln 10}.$$

Тогда

$$y’=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\lg(1-2x)-\sqrt{x}\cdot\frac{-2}{(1-2x)\ln 10}}{(\lg(1-2x))^2}.$$

Приведём к общему виду:

$$y’=\frac{\ln 10\,(1-2x)\ln(1-2x)+4x}{2\sqrt{x}(1-2x)\bigl(\ln(1-2x)\bigr)^2}.$$

в)

$$y=\frac{x^2}{\ln 5x}.$$

Тогда

$$u=x^2, \quad u’=2x, \quad v=\ln 5x, \quad v’=\frac{1}{x}.$$

Следовательно,

$$y’=\frac{2x\ln 5x-x^2\cdot\frac{1}{x}}{(\ln 5x)^2} =\frac{x(2\ln 5x-1)}{(\ln 5x)^2}.$$

г)

$$y=\frac{\log_3 x^2}{x+1}.$$

Используем формулу

$$\log_3 x^2=\frac{\ln x^2}{\ln 3}.$$

Тогда

$$y=\frac{\ln x^2}{\ln 3\,(x+1)}.$$

Пусть

$$u=\ln x^2, \quad u’=\frac{2}{x}, \quad v=x+1, \quad v’=1.$$

Тогда

$$y’=\frac{\frac{2}{x}(x+1)-\ln x^2}{\ln 3\,(x+1)^2} =\frac{2(x+1)-x\ln x^2}{x\ln 3\,(x+1)^2}.$$

Ответ

$$\begin{aligned} \text{а) }& y’=\frac{3(x^2+1)-2x(5+3x)\ln(5+3x)}{(5+3x)(x^2+1)^2},\\[4pt] \text{б) }& y’=\frac{\ln 10\,(1-2x)\ln(1-2x)+4x}{2\sqrt{x}(1-2x)\bigl(\ln(1-2x)\bigr)^2},\\[4pt] \text{в) }& y’=\frac{x(2\ln 5x-1)}{(\ln 5x)^2},\\[4pt] \text{г) }& y’=\frac{2(x+1)-x\ln x^2}{x\ln 3\,(x+1)^2}. \end{aligned}$$