Упр.552 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Для касательной к графику функции в точке $$x_0$$ используем формулу

$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).$$

а)

$$f(x)=\ln(x+1), \quad x_0=0.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{1}{x+1}.$$

Вычислим значения в точке $$x_0=0$$:

$$f'(0)=\frac{1}{0+1}=1,$$

$$f(0)=\ln(0+1)=\ln 1=0.$$

Тогда

$$y=1\cdot(x-0)+0=x.$$

б)

$$f(x)=\lg x+2, \quad x_0=1.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{1}{x\ln 10}.$$

Вычислим значения в точке $$x_0=1$$:

$$f'(1)=\frac{1}{\ln 10},$$

$$f(1)=\lg 1+2=0+2=2.$$

Тогда

$$y=\frac{1}{\ln 10}(x-1)+2=\frac{x}{\ln 10}-\frac{1}{\ln 10}+2.$$

в)

$$f(x)=2\ln x, \quad x_0=e.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{2}{x}.$$

Вычислим значения в точке $$x_0=e$$:

$$f'(e)=\frac{2}{e},$$

$$f(e)=2\ln e=2.$$

Тогда

$$y=\frac{2}{e}(x-e)+2=\frac{2}{e}x.$$

г)

$$f(x)=\log_2(x-1), \quad x_0=2.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{1}{(x-1)\ln 2}.$$

Вычислим значения в точке $$x_0=2$$:

$$f'(2)=\frac{1}{\ln 2},$$

$$f(2)=\log_2(2-1)=\log_2 1=0.$$

Тогда

$$y=\frac{1}{\ln 2}(x-2)=\frac{x}{\ln 2}-\frac{2}{\ln 2}.$$