Упр.550 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$y=x^2\log_2 x$$

Используем правило производной произведения:

$$y’=(x^2)’\log_2 x+x^2(\log_2 x)’=2x\log_2 x+x^2\cdot \frac{1}{x\ln 2} =2x\log_2 x+\frac{x}{\ln 2}.$$

б) $$y=\frac{\ln x}{x}$$

Используем правило производной частного:

$$y’=\left(\frac{\ln x}{x}\right)’=\frac{(\ln x)’x-\ln x\cdot (x)’}{x^2} =\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x}{x^2} =\frac{1-\ln x}{x^2}.$$

в) $$y=x\ln x$$

Используем правило производной произведения:

$$y’=(x\ln x)’=(x)’\ln x+x(\ln x)’=\ln x+x\cdot \frac{1}{x}=\ln x+1.$$

г) $$y=\frac{x}{\ln x}$$

Используем правило производной частного:

$$y’=\left(\frac{x}{\ln x}\right)’=\frac{(x)’\ln x-x(\ln x)’}{(\ln x)^2} =\frac{\ln x-x\cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^2} =\frac{\ln x-1}{(\ln x)^2}.$$

Ответ: а) $$y’=2x\log_2 x+\frac{x}{\ln 2}$$; б) $$y’=\frac{1-\ln x}{x^2}$$; в) $$y’=\ln x+1$$; г) $$y’=\frac{\ln x-1}{(\ln x)^2}$$.