Упр.55 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\sqrt{\frac12-\frac12\sqrt{\frac12+\frac12\cos\alpha}}=\sqrt{\frac12-\frac12\sqrt{\cos^2\frac{\alpha}{2}}}.$$

Так как $$\pi<\alpha<2\pi,$$ то $$\frac{\alpha}{2}\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right),$$ значит $$\cos\frac{\alpha}{2}<0$$ и

$$\sqrt{\cos^2\frac{\alpha}{2}}=-\cos\frac{\alpha}{2}.$$

Тогда

$$\sqrt{\frac12-\frac12\sqrt{\frac12+\frac12\cos\alpha}}=\sqrt{\frac12+\frac12\cos\frac{\alpha}{2}}=\sqrt{\cos^2\frac{\alpha}{4}}.$$

Поскольку $$\frac{\alpha}{4}\in\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right),$$ то $$\cos\frac{\alpha}{4}>0,$$ и потому

$$\sqrt{\cos^2\frac{\alpha}{4}}=\cos\frac{\alpha}{4}.$$

б) $$\sqrt{1-\sqrt{\frac12-\frac12\cos2\alpha}}=\sqrt{1-\sqrt{\sin^2\alpha}}.$$

При $$\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}$$ имеем $$\sin\alpha<0,$$ значит

$$\sqrt{\sin^2\alpha}=-\sin\alpha.$$

Тогда

$$\sqrt{1-\sqrt{\frac12-\frac12\cos2\alpha}}=\sqrt{1+\sin\alpha}.$$

Используем формулу

$$1+\sin\alpha=\sin^2\frac{\alpha}{2}+2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}+\cos^2\frac{\alpha}{2}=\left(\sin\frac{\alpha}{2}+\cos\frac{\alpha}{2}\right)^2.$$

Следовательно,

$$\sqrt{1+\sin\alpha}=\left|\sin\frac{\alpha}{2}+\cos\frac{\alpha}{2}\right|.$$

Так как $$\frac{\alpha}{2}\in\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4}\right),$$ то $$\sin\frac{\alpha}{2}>0$$ и $$\cos\frac{\alpha}{2}<0,$$ а значит

$$\left|\sin\frac{\alpha}{2}+\cos\frac{\alpha}{2}\right|=\sin\frac{\alpha}{2}+\cos\frac{\alpha}{2}.$$

Далее

$$\sin\frac{\alpha}{2}+\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\sin\frac{\alpha}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\right)=\sqrt2\cos\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}\right).$$

в) $$\sqrt{\frac12+\frac12\sqrt{\frac12+\frac12\cos2\alpha}}=\sqrt{\frac12+\frac12\sqrt{\cos^2\alpha}}.$$

При $$\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi$$ имеем $$\cos\alpha>0,$$ поэтому

$$\sqrt{\cos^2\alpha}=\cos\alpha.$$

Тогда

$$\sqrt{\frac12+\frac12\sqrt{\frac12+\frac12\cos2\alpha}}=\sqrt{\frac12+\frac12\cos\alpha}=\sqrt{\cos^2\frac{\alpha}{2}}.$$

Так как $$\frac{\alpha}{2}\in\left(\frac{3\pi}{4},\pi\right),$$ то $$\cos\frac{\alpha}{2}<0,$$ и потому

$$\sqrt{\cos^2\frac{\alpha}{2}}=-\cos\frac{\alpha}{2}.$$

г) $$\sqrt{1+\sqrt{\frac12-\frac12\cos\alpha}}=\sqrt{1+\sqrt{\sin^2\frac{\alpha}{2}}}.$$

При $$\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi$$ имеем $$\frac{\alpha}{2}\in\left(\frac{3\pi}{4},\pi\right),$$ значит $$\sin\frac{\alpha}{2}>0,$$ и

$$\sqrt{\sin^2\frac{\alpha}{2}}=\sin\frac{\alpha}{2}.$$

Следовательно,

$$\sqrt{1+\sqrt{\frac12-\frac12\cos\alpha}}=\sqrt{1+\sin\frac{\alpha}{2}}.$$

Преобразуем:

$$1+\sin\frac{\alpha}{2}=\sin^2\frac{\alpha}{4}+2\sin\frac{\alpha}{4}\cos\frac{\alpha}{4}+\cos^2\frac{\alpha}{4}=\left(\sin\frac{\alpha}{4}+\cos\frac{\alpha}{4}\right)^2.$$

Тогда

$$\sqrt{1+\sin\frac{\alpha}{2}}=\left|\sin\frac{\alpha}{4}+\cos\frac{\alpha}{4}\right|.$$

Так как $$\frac{\alpha}{4}\in\left(\frac{3\pi}{8},\frac{\pi}{2}\right),$$ то выражение под модулем положительно, и

$$\left|\sin\frac{\alpha}{4}+\cos\frac{\alpha}{4}\right|=\sin\frac{\alpha}{4}+\cos\frac{\alpha}{4}=\sqrt2\cos\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{4}\right).$$

Ответ:

а) $$\cos\frac{\alpha}{4};$$ б) $$\sqrt2\cos\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}\right);$$ в) $$-\cos\frac{\alpha}{2};$$ г) $$\sqrt2\cos\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{4}\right).$$