Упр.55 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Является ли чётной (или нечётной) функция:
а) $$f(x)=\frac{e^{-x}-1}{x^x+1}$$;
б) $$f(x)=\log_a\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$$;
в) $$f(x)=\frac{(x+5)^{\frac{2}{3}}-(x-5)^{\frac{2}{3}}}{x\cos x}$$;
г) $$f(x)=\log_a\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$$?
а) $$f(x)=\frac{e^{-x}-1}{x^x+1}$$
Область определения: $$x^x \text{ определено при } x>0,$$ а знаменатель $$x^x+1>0.$$ Значит, $$D(f)=(0;+\infty).$$
Область определения не симметрична относительно нуля, поэтому функция не может быть ни чётной, ни нечётной.
Ответ: общего вида.
б) $$f(x)=\log_a\!\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$$
Область определения: $$x^2+1>0$$ при всех $$x\in\mathbb R,$$ а также
$$x+\sqrt{x^2+1}>0.$$
Так как $$\sqrt{x^2+1}>|x|,$$ то $$x+\sqrt{x^2+1}>0$$ для всех $$x\in\mathbb R.$$ Следовательно, $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Найдём значение функции при $$-x$$:
$$f(-x)=\log_a\!\left(-x+\sqrt{x^2+1}\right).$$
Используем тождество
$$\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=1,$$
откуда
$$\sqrt{x^2+1}-x=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}.$$
Тогда
$$f(-x)=\log_a\!\left(\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\right)=-\log_a\!\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)=-f(x).$$
Ответ: нечётная.
в) $$f(x)=\frac{\sqrt[3]{(x+5)^2}-\sqrt[3]{(x-5)^2}}{x\cos x}$$
Область определения: $$x\cos x\ne 0,$$ то есть
$$x\ne 0,\qquad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Проверим чётность:
$$f(-x)=\frac{\sqrt[3]{(-x+5)^2}-\sqrt[3]{(-x-5)^2}}{-x\cos(-x)}.$$
Так как $$(-x+5)^2=(x-5)^2,$$ $$(-x-5)^2=(x+5)^2,$$ а $$\cos(-x)=\cos x,$$ получаем
$$f(-x)=\frac{\sqrt[3]{(x-5)^2}-\sqrt[3]{(x+5)^2}}{-x\cos x} =\frac{\sqrt[3]{(x+5)^2}-\sqrt[3]{(x-5)^2}}{x\cos x}=f(x).$$
Ответ: чётная.
г) $$f(x)=\log_a\!\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$$
Область определения: $$\frac{x+1}{x-1}>0,$$ откуда
$$x<-1 \quad \text{или} \quad x>1.$$
Найдём $$f(-x):$$
$$f(-x)=\log_a\!\left(\frac{-x+1}{-x-1}\right) =\log_a\!\left(\frac{x-1}{x+1}\right).$$
Так как
$$\frac{x-1}{x+1}=\frac{1}{\frac{x+1}{x-1}},$$
то
$$f(-x)=\log_a\!\left(\frac{1}{\frac{x+1}{x-1}}\right) =-\log_a\!\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=-f(x).$$
Ответ: нечётная.
