Упр.548 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) Рассмотрим фигуру, ограниченную линиями $$y=\left(\frac13\right)^x,\quad y=3,\quad x=1.$$

Точки пересечения с прямой $$y=3$$: $$\left(\frac13\right)^x=3 \Rightarrow 3^{-x}=3 \Rightarrow x=-1.$$

Тогда площадь равна

$$S= \int_{-1}^{1}\left(3-\left(\frac13\right)^x\right)\,dx =3\cdot 2-\int_{-1}^{1}\left(\frac13\right)^x\,dx.$$

Вычислим интеграл:

$$\int \left(\frac13\right)^x dx=\frac{\left(\frac13\right)^x}{\ln\frac13} =-\frac{\left(\frac13\right)^x}{\ln 3}.$$

Следовательно,

$$S=6-\left[-\frac{\left(\frac13\right)^x}{\ln 3}\right]_{-1}^{1} =6+\frac{\left(\frac13\right)^1-\left(\frac13\right)^{-1}}{\ln 3} =6-\frac{8}{3\ln 3}.$$

б) Фигура ограничена линиями $$y=e^x,\quad y=e^{-x},\quad y=e.$$

Точки пересечения с прямой $$y=e$$:

$$e=e^x \Rightarrow x=1,\qquad e=e^{-x}\Rightarrow x=-1.$$

Площадь фигуры:

$$S=2e-2\int_0^1 e^x\,dx.$$

Так как

$$\int_0^1 e^x\,dx=e-1,$$

то

$$S=2e-2(e-1)=2.$$

в) Фигура ограничена линиями $$y=\left(\frac12\right)^x,\quad y=1,\quad x=-2.$$

Точка пересечения с прямой $$y=1$$:

$$\left(\frac12\right)^x=1 \Rightarrow x=0.$$

Площадь равна

$$S=\int_{-2}^{0}\left(\frac12\right)^x\,dx-2\cdot 1.$$

Вычислим интеграл:

$$\int \left(\frac12\right)^x dx=\frac{\left(\frac12\right)^x}{\ln\frac12} =-\frac{\left(\frac12\right)^x}{\ln 2}.$$

Тогда

$$S=\left[-\frac{\left(\frac12\right)^x}{\ln 2}\right]_{-2}^{0}-2 =\frac{4-1}{\ln 2}-2 =\frac{3}{\ln 2}-2.$$

г) Фигура ограничена линиями $$y=\left(\frac12\right)^x,\quad y=4^x,\quad y=4.$$

Точки пересечения с прямой $$y=4$$:

$$4=\left(\frac12\right)^x \Rightarrow 4=2^{-x}\Rightarrow x=-2,$$

$$4=4^x \Rightarrow x=1.$$

Площадь фигуры:

$$S=4\cdot 3-\int_{-2}^{0}\left(\frac12\right)^x\,dx-\int_{0}^{1}4^x\,dx.$$

Вычислим интегралы:

$$\int_{-2}^{0}\left(\frac12\right)^x\,dx =\left[-\frac{\left(\frac12\right)^x}{\ln 2}\right]_{-2}^{0} =\frac{3}{\ln 2},$$

$$\int_{0}^{1}4^x\,dx =\left[\frac{4^x}{\ln 4}\right]_{0}^{1} =\frac{3}{\ln 4} =\frac{3}{2\ln 2}.$$

Следовательно,

$$S=12-\frac{3}{\ln 2}-\frac{3}{2\ln 2} =12-\frac{9}{2\ln 2}.$$

Ответ

а) $$6-\frac{8}{3\ln 3}$$; б) $$2$$; в) $$\frac{3}{\ln 2}-2$$; г) $$12-\frac{9}{2\ln 2}$$.