Упр.547 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Площадь фигуры находим как определённый интеграл разности верхней и нижней функций на соответствующем промежутке.

1. $$S=\int_0^1 e^x\,dx=\left.e^x\right|_0^1=e-1.$$

2. $$S=\int_0^1 \left(9^x-3^x\right)\,dx=\left(\frac{9^x}{\ln 9}-\frac{3^x}{\ln 3}\right)\Bigg|_0^1.$$

   $$S=\left(\frac{9}{\ln 9}-\frac{3}{\ln 3}\right)-\left(\frac{1}{\ln 9}-\frac{1}{\ln 3}\right)=\frac{8}{\ln 9}-\frac{2}{\ln 3}.$$

   Так как $$\ln 9=2\ln 3,$$ то

   $$S=\frac{8}{2\ln 3}-\frac{2}{\ln 3}=\frac{4}{\ln 3}-\frac{2}{\ln 3}=\frac{2}{\ln 3}.$$

3. $$S=\int_{-1}^2 2^x\,dx=\left.\frac{2^x}{\ln 2}\right|_{-1}^2=\frac{4}{\ln 2}-\frac{1}{2\ln 2}=\frac{7}{2\ln 2}.$$

4. На отрезке $$[0,1]$$ верхняя кривая — $$y=e^{2x}$$, нижняя — $$y=e^x$$. Тогда

   $$S=\int_0^1 \left(e^{2x}-e^x\right)\,dx=\left(\frac12 e^{2x}-e^x\right)\Bigg|_0^1.$$

   $$S=\left(\frac12 e^2-e\right)-\left(\frac12-1\right)=\frac{e^2}{2}-e+\frac12.$$

Ответ: а) $$e-1$$; б) $$\frac{2}{\ln 3}$$; в) $$\frac{7}{2\ln 2}$$; г) $$\frac{e^2}{2}-e+\frac12$$.