Упр.546 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Используем формулу:

$$\int a^{kx+b}\,dx=\frac{a^{kx+b}}{k\ln a}+C \qquad (a>0,\ a\ne 1,\ k\ne 0).$$

а)

$$f(x)=e^{3-2x}.$$

Тогда

$$F(x)=\int e^{3-2x}\,dx=-\frac12 e^{3-2x}+C.$$

б)

$$f(x)=2\cdot 0{,}9^x-5{,}6^{-x}.$$

Интегрируем по частям суммы:

$$\int 2\cdot 0{,}9^x\,dx=\frac{2\cdot 0{,}9^x}{\ln 0{,}9},$$

$$\int \left(-5{,}6^{-x}\right)\,dx=\frac{5{,}6^x}{\ln 5{,}6}.$$

Следовательно,

$$F(x)=\frac{2\cdot 0{,}9^x}{\ln 0{,}9}+\frac{5{,}6^x}{\ln 5{,}6}+C.$$

в)

$$f(x)=2^{-10x}.$$

Тогда

$$F(x)=\int 2^{-10x}\,dx=-\frac{1}{10\ln 2}\,2^{-10x}+C.$$

г)

$$f(x)=e^{3x}+2{,}3^{1+x}.$$

Находим первообразную:

$$\int e^{3x}\,dx=\frac13 e^{3x},$$

$$\int 2{,}3^{1+x}\,dx=\frac{2{,}3^{1+x}}{\ln 2{,}3}.$$

Значит,

$$F(x)=\frac13 e^{3x}+\frac{2{,}3^{1+x}}{\ln 2{,}3}+C.$$

Ответ

$$\begin{aligned} &\text{а) } F(x)=-\frac12 e^{3-2x}+C,\\ &\text{б) } F(x)=\frac{2\cdot 0{,}9^x}{\ln 0{,}9}+\frac{5{,}6^x}{\ln 5{,}6}+C,\\ &\text{в) } F(x)=-\frac{1}{10\ln 2}\,2^{-10x}+C,\\ &\text{г) } F(x)=\frac13 e^{3x}+\frac{2{,}3^{1+x}}{\ln 2{,}3}+C. \end{aligned}$$